Kres dolny

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Kres dolny zbioru (infimum zbioru) to pojęcie w matematyce określające największe z ograniczeń dolnych tego zbioru (o ile takie istnieje).

Spis treści

1 Kres dolny zbioru liczbowego
2 Kres dolny w porządkach częściowych
- 2.1 Definicja
- 2.2 Własności i przykłady
3 Zobacz też

[edytuj] Kres dolny zbioru liczbowego

Najczęściej termin kres dolny jest używany w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

[edytuj] Definicja

Przypuśćmy, że zbiór $A\subseteq {\mathbb R}$ jest niepusty. Powiemy, że liczba rzeczywista $s\in {\mathbb R}$ jest kresem dolnym zbioru $A$ , jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

$s$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A$ , tzn. $s\leq a$ dla wszystkich elementów $a$ zbioru $A$ ,
$s$ jest największym takim ograniczeniem, tzn jeśli $s'\in {\mathbb R}$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A$ , to $s\geq s'$ .

Jeśli $s$ jest kresem dolnym zbioru $A$ , to piszemy $s=\inf(A)$ . Oznaczenie $\inf(A)=-\infty$ jest czasami używane do stwierdzenia, że zbiór $A$ jest nieograniczony z dołu.

[edytuj] Własności

Jedną z najważniejszych własności zbioru liczb rzeczywistych jest jego zupełność: każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór ${\mathbb R}$ ma kres dolny (i jest on jedyny).
Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
Przypuśćmy że $A\subseteq {\mathbb R}$ jest zbiorem niepustym, $s\in {\mathbb R}$ . Wówczas

$s=\inf(A)$ wtedy i tylko wtedy gdy $(\forall a\in A) (s\leq a)$ oraz $(\forall \epsilon>0)(\exists a\in A)( a<s+\epsilon).$

[edytuj] Przykłady

Jeśli $A = [ - 3,0)$ , to $\inf(A)=-3$ ponieważ -3 jest najmniejszą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem dolnym.
Niech $B = ( - 3,0)$ . Wówczas $\inf(B)=-3$ . Mimo że w zbiorze B nie ma liczby najmniejszej, jego kresem dolnym jest -3, bowiem żadna liczba większa od -3 nie jest mniejsza od WSZYSTKICH liczb zbioru B.
Niech $C = {0,1,4}$ . Wówczas $\inf(C)=0$ na tej samej zasadzie, co w przykładzie 1.
Połóżmy $D=\{-1/2, -2/3,-3/4,-4/5, -5/6, \ldots\}$ . Wówczas $\inf(D)=-1$ , bo każda liczba zbioru D jest większa od -1, a jednocześnie żadna liczba większa od -1 nie jest mniejsza od WSZYSTKICH liczb zbioru D.

[edytuj] Kres dolny w porządkach częściowych

Pojęcie kresu dolnego jest zdefiniowane przy użyciu porządku (tylko) i może być ono wprowadzone jako dużo ogólniejsze niż w sekcji powyżej.

[edytuj] Definicja

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że $A\subseteq X$ i $s\in X$ . Powiemy że element $s$ jest kresem dolnym zbioru $A$ (w $X$ ) jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

$s$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A$ , tzn $(\forall a\in A)(s\sqsubseteq a)$ ,
$s$ jest największym takim ograniczeniem, tzn jeśli $s'\in X$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A$ , to $s'\sqsubseteq s$ .

Każdy element zbioru X jest ograniczeniem dolnym zbioru pustego. Więc: kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru X.

[edytuj] Własności i przykłady

Kres dolny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ z porządkiem naturalnym i zbiór $A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}$ , to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym $A$ . (Oczywiście ten sam zbiór ma kres dolny w liczbach rzeczywistych.)
Jeśli podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego ma kres dolny, to ten kres jest jedyny. Dlatego też piszemy $s=\inf(A)$ na wyrażenie faktu że " $s$ jest kresem dolnym zbioru $A$ ".
Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn każdy ograniczony niepusty podzbiór $X$ ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór $X$ ma kres dolny.
Niech $({\mathbb B},+,\cdot,\sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a i niech $\leq$ będzie porządkiem booleowskim na ${\mathbb B}$ (tzn dla $a\leq b$ wtedy i tylko wtedy gdy $a\cdot b=a$ ). Kres dolny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\prod A$ i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru $A$ . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a ${\mathbb B}$ :

każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres górny (tzn sumę),

każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres dolny (tzn produkt).