Model Isinga

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Model Isinga jest modelem fizycznym opisującym odddziałujące spiny (np. ferromagnetyzm). Jest to uproszczony model Heisenberga.

Spis treści

1 Hamiltonian dla modelu Isinga
2 Namagnesowanie
3 Suma statystyczna w modelu Isinga
4 Model Isinga w jednym wymiarze

[edytuj] Hamiltonian dla modelu Isinga

$H=-J\sum _{<i,j>}S_i S_j - h\sum_i S_i\,$

gdzie

J - całka wymiany

h - energia dipola w zewnętrznym polu B

$S i, S j$ - spiny w i-tym i j-tym węźle

$< i, j >$ - "najbliżsi sąsiedzi"

jeśli J>0 to spiny ułożone są równolegle -ferromagnetyczna całka wymiany
jeśli J<0 to spiny w sąsiednich węzłach są przeciwne

[edytuj] Namagnesowanie

Określmy wartość namagnesowania m jako

$m= {1 \over N} \sum _i \langle S_i \rangle$

Przy czym ferromagnetyzm występuje gdy $m \neq 0$ dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego

Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków

[edytuj] Suma statystyczna w modelu Isinga

$Z = \sum _{S_1, S_2, \ldots , S_N} \exp [ -\beta H (S_1, S_2, \ldots , S_N) ]$

(Aby policzyć średnią z operatora A zależnego od $S_1, \ldots , S_N$ można dodać do hamiltonianu człon $+ α A$ , a następnie policzyć średnią i pochodną w granicy dla $α$ zmierzającym do zera. )

$\langle A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \rangle = {1 \over Z } \sum _{S_1, \ldots \S_N} A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \exp [ -\beta H (S_1, S_2, \ldots , S_N) ]$

Namagnesowanie jest więc równe:

$m= kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln Z = kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln \sum _{S_1, \ldots \S_N} A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \exp \left [ \beta J \sum _{<i,j>} S_i, S_j + \beta h \sum _i S_i \right ] = kT {1 \over N} {\sum _{S_1, \ldots , S_N} \left [ \exp (- \beta H ) \beta \sum _i S_i \right ] \over Z} = {1 \over N } \sum _i \langle S_i \rangle$

Ostatecznie więc namagnesowanie

$m= {1 \over N} \sum _i \langle S_i \rangle = kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln Z$

Gdy J= 0, tzn dla pojedynczego spinu w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:

$Z = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp(- \beta H) = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left ( \beta h \sum _i S_i \right ) = \left [ \sum _{S_i} \left ( \exp (\beta h S_i ) \right ) \right ] ^N = \left [ \exp (\beta h ) + \exp (- \beta h ) \right ] ^N = \left [ 2 \cosh (\beta h) \right ] ^N$

Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe

$m = {1 \over N} kT {\partial \over \partial h } \ln \left [2 \cosh \beta h ) \right ] ^N = kT { \left [ \exp (\beta h ) - \exp (- \beta h ) \right ] \over 2 \cosh (\beta h ) } = \tanh (\beta h)$

[edytuj] Model Isinga w jednym wymiarze

W układzie jednowymiarowym nałożone są periodyczne warunki brzegowe

Hamiltonian dla takiego układu:

$H = -J \sum _i S_i S_{i+1} -h \sum _i S_i = -J \sum _i S_i S_{i+1} - {1 \over 2} h \sum _i S_i - {1 \over 2} h \sum _i S_{i+1} = - \sum \left ( J + {1 \over 2} h (S_i + S_{i + 1}) \right )$

Suma statystyczna:

$Z= \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp (- \beta h) = \sum _{S_1, \ldots , S_N} M_{S_1, S_2} M_{S_2, S_3} \ldots M_{S_N, S_1} = (*)$

Możliwe sa cztery "warianty" M:

$M 1,1 = exp(β J + β h)$

$M - 1, - 1 = exp(β J - β h)$

$M 1, - 1 = M - 1,1 = / e x p ( - β J)$

(jest to macierz)

Wracając więc do sumy statystycznej

$Z= (*) = Tr (M^N)=Tr(M \cdot M \cdot M \cdot \ldots \cdot M = (**)$

Macierz M można przedstwić w postaci $M= U^{\dagger} M^D U$ gdzie $M D$ jest macierzą diagonalną, a $UU^{\dagger} =1$

$Z = (**) = Tr (U^{ \dagger } M^D U U^{ \dagger } M^D U U^{\dagger} \ldots M^D U) = Tr (U^{\dagger} (M^D)^N N) = (***)$

$M D$ jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

$M^D = \left ( \begin{matrix} \lambda _1 && 0 \\ 0 && \lambda _2 \end{matrix} \right )$

Natomiast $(M^D)^N = \left ( \begin{matrix} {\lambda _1}^N && 0 \\ 0 && {\lambda _2}^N \end{matrix} \right )$

Zakładając, że $λ 1 > λ 2$ otrzymujemy że suma statystyczna jest równa:

$Z = (***) = {\lambda _1} ^N + {\lambda _2} ^N = {\lambda _1} ^N \cdot \left ( 1 + \left ( \frac {\lambda _2} { \lambda _1} \right ) ^N \right )$

Wyznaczenie wartości własnych dla M:

$\det M = \det \left ( \begin{matrix} {\exp(\beta J + \beta h) - \lambda} && {\exp (-\beta J)} \\ {\exp (-\beta J )} && {\exp ( \beta J - \beta h) - \lambda} \end{matrix} \right ) = \left ( \exp {(\beta J + \beta h)} - \lambda \right ) \left ( \exp {(\beta J - \beta h)} - \lambda \right ) - \exp (2 \beta J ) =$

$= 2sinh(2β J) - λ2exp(β J)cosh(β h) + λ 2$

$\lambda _1 = \exp (\beta J ) \left [ \cosh (\beta h) + \sqrt {\cosh^2 (\beta h ) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J) } \right ]$

$Z = {\lambda_1} ^N$

Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:

$m = \frac {1}{N} kY \frac {\partial} { \partial h} \ln Z = \frac {1}{\beta} \frac {\partial }{\partial h} \ln \exp (\beta h) \cdot \left [ \cosh (\beta h) + \sqrt { \cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)} \right ]=$

$= \frac {1}{\beta} \frac {1}{\lambda _1} \exp (\beta J) \cdot \left [ \beta \sinh (\beta h) + \frac {2 \beta \sinh (\beta h) \cosh (\beta h)} {2 \sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}} \right ]=$

$= \frac { \exp (\beta J) \sinh (\beta h) } {\lambda _1} \cdot \left [ \frac {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)} + \cosh (\beta h)} {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}} \right ] =$

Czyli ostatecznie namagnesowanie:

$m = \frac {\sinh (\beta h)} {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}}$

Bez zewnętrznego pola magnetycznego

Dla $h = 0$ (czyli braku zewnętrznego pola magnetycznego) $m = 0$ , czyli wynikało by z tego, że nie może istnieć ferromagnetyzm. Tzn nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../m/o/d/Model_Isinga_cc88.html"

Kategoria: Mechanika kwantowa