Podpierścień
Z Wikipedii
Podzbiór S pierścienia P nazywamy jego podpierścieniem, jeżeli jest on pierścieniem ze względu na te same działania, co pierścień P.
[edytuj] Definicja formalna
Niech:
- pierścień,
.
S jest podpierścieniem pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
,- Pierścieniem jest struktura
, gdzie 
oznaczają obcięcia działań 
do zbioru S (czyli: 
oraz 
dla dowolnych 
).
Jeżeli P jest ciałem oraz S jest ciałem, to S nazywamy podciałem ciała P.
[edytuj] Własności
jest podpierścieniem pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:
,
.
Zachodzą ponadto następujące twierdzenia:
- Podpierścień pierścienia przemiennego jest pierścieniem przemiennym.
- Podpierścień pierścienia bez dzielników zera jest pierścieniem bez dzielników zera.
- Element neutralny dodawania podpierścienia S pierścienia P jest równy elementowi neutralnemu dodawania pierścienia P.
- Dowolny ideał J pierścienia P jest podpierścieniem P.
[edytuj] Przykłady
- Pierścień liczb całkowitych Z jest podpierścieniem ciała liczb wymiernych Q. Ciało Q jest podciałem ciała liczb rzeczywistych R.
- Pierścień liczb całkowitych parzystych Zp jest podpierścieniem pierścienia liczb całkowitych Z. Zauważmy, że Z jest pierścieniem z jedynką, natomiast Zp jedynki nie posiada.
