Подкольцо
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В абстрактной алгебре, области математики, подкольцо — это подмножество кольца, содержащее мультипликативную единицу и само являющееся кольцом относительно тех же бинарных операций.
Более строго, если есть кольцо (R, +, *), S, подмножество R, называется подкольцом R, если оно является кольцом относительно сужения + и * на S, а также содержит ту же мультипликативную единицу, что и R. Подкольцо — это просто подгруппа (R, +), содержащая единицу и замкнутая относительно умножения.
Например, кольцо целых чисел Z является подкольцом поля вещественных чисел и подкольцом кольца многочленов Z[X].
Кольцо Z не содержит других подколец, кроме себя самого. Обратите внимание, что идеалы Z, имеющие форму nZ, где n — любое целое число, не являются подкольцами (за исключением случаев n = ±1), поскольку они не содержат 1. В общем случае, собственный идеал никогда не является подкольцом, поскольку если он содержит единицу, то совпадает со всем кольцом.
Если опустить требование, чтобы кольца содержали единицу, то от подколец требуется только быть замкнутыми по сложению и умножению, и идеалы становятся подкольцами. Идеалы могут иметь или не иметь свою мультипликативную единицу (отличную от единицы кольца):
- Идеал I = {(z,0)|z in Z} кольца Z × Z = {(x,y)|x,y ∈ Z} c с покомпонентным сложением и умножением обладает единицей (1,0), отличной от единицы кольца (1,1). Таким образом, I является кольцом с единицей и "подкольцом без единицы", но не "подкольцом с единицей" Z × Z.
- Собственные идеалы Z не имеют мультипликативной единицы.
Каждое кольцо содержит единственное наименьшее подкольцо, изоморфное либо кольцу целых чисел Z, либо некоторому кольцу вида Z/nZ, где n — неотрицательное целое число (см. характеристика).
