Równanie funkcyjne
Z Wikipedii
Równanie funkcyjne to równanie, w którym niewiadomą jest funkcja.
Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe są równaniami funkcyjnymi.
Przykłady:
Równanie f(x + y) = f(x) + f(y) spełniają funkcje addytywne.
Równania f(x) = f( − x) oraz f(x) = f( − x) spełniają odpowiednio: funkcje nieparzyste oraz parzyste.
Znajdźmy wszystkie funkcje dla których f(x + y)2 = f(x)2 + f(y)2.
Podstawiając x = y = 0 otrzymujemy f(0)2 = 2f(0)2, czyli f(0) = 0.
Teraz niech y = − x. Wówczas
- f(x − x)2 = f(x)2 + f( − x)2
- f(0)2 = f(x)2 + f( − x)2
- 0 = f(x)2 + f( − x)2
Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe 0, więc równość f(x) = 0 zachodzi dla każdego x. Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest f(x) = 0.
Innym przykładem równań funkcyjnych są równania rekurencyjne. Dla przykładu jedynym ciągiem spełniającym warunki a1 = 1,an + 1 = (n + 1)an jest ciąg an = n!.