Funkcja (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Funkcje matematyczne

dziedzina, obraz, przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna - niewymierna
wielomian
stała - liniowa - kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne - cyklometryczne
hiperboliczne - area
wykładnicza - logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu - Γ - Β (beta) η - W Lamberta - Bessela - ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa - φ - π - λ

Własności

przebieg zmienności:
parzystość - monotoniczność - ograniczoność - okresowość - różnowartościowość - suriektywność - wzajemna jednoznaczność

ciągłość - różniczkowalność - całkowalność

Funkcja (odwzorowanie, przyporządkowanie, przekształcenie) – obiekt matematyczny przyporządkowujący każdemu elementowi pewnego zbioru dokładnie jeden element innego zbioru.

Spis treści

1 Definicja formalna
2 Nazwa
3 Podstawowe pojęcia
- 3.1 Wykres funkcji
4 Własności
5 Działania na funkcjach
6 Rys historyczny
7 Zobacz też
8 Link zewnętrzny

[edytuj] Definicja formalna

Precyzyjna definicja pojęcia funkcji wyrażona jest w języku teorii mnogości. Niech $X, Y$ będą dowolnymi zbiorami. Funkcją $f\colon X \to Y$ nazywa się dwuargumentową relację określoną na iloczynie kartezjańskim $X \times Y$ spełniającą oba z warunków:

$\forall_{x \in X}\; \exists_{y \in Y}\; x f y$ ,

$\forall_{x \in X}\; \forall_{y \in Y}\; \forall_{z \in Y}\; x f y \and x f z \implies y = z$ ,

czyli: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem obrazu.

Funkcję można też zdefiniować jako trójkę uporządkowaną $(X, Y, f)$ , gdzie $X$ jest dziedziną, $Y$ przeciwdziedziną, a $f$ jest zdefiniowane jak wyżej. Wówczas funkcje o różnych przeciwdziedzinach uważane są za różne.

[edytuj] Nazwa

W matematyce określenia: funkcja, przekształcenie, odwzorowanie, transformacja, operator, działanie, itd. są zwykle synonimami. Jednakże w różnych dyscyplinach matematycznych preferowane jest używanie niektórych z nich, znaczenie niektórych zostało zaś uściślone. Najczęściej podyktowane jest to względami historycznymi. Choć w analiza matematyczna rozpatruje się przede wszystkim funkcje, to w geometrii, algebrze liniowej mówi się o przekształceniach (przekształcenie liniowe), w algebrze uniwersalnej rozważa się z kolei działania, zaś w analizie funkcjonalnej bada się własności operatorów, czy funkcjonałów.

[edytuj] Podstawowe pojęcia

Zobacz więcej w osobnych artykułach: dziedzina, obraz (matematyka), przeciwobraz.

Nazewnictwo pojęć związanych z dziedziną jest jednoznaczne, jednak w pojęcia związane z przeciwdziedziną otrzymały wiele różnych nazw, które przez długi czas wprowadzały zamieszanie w terminologii, np. czy zbiorem wartości jest zbiór w który funkcja przeprowadza elementy, czy może tylko tych, które są odwzorowaniem pewnych elementów. My będziemy używać słownictwa stosowanego w matematyce wyższej.

Niech $f\colon X \to Y$ będzie funkcją, wówczas

dziedziną nazywa się zbiór $X$ ,
przeciwdziedziną (zbiorem wartości) nazywa się zbiór $Y$ ,

argumentem określa się każdy z elementów dziedziny,
wartością lub obrazem argumentu nazywa się element przeciwdziedziny, któremu przyporządkowany został element dziedziny.
przeciwobrazem wartości nazywa się podzbiór dziedziny, którego elementom przyporządkowano daną wartość.

obrazem zbioru $A \subseteq X$ nazywać będziemy podzbiór elementów $y \in Y$ przyporządkowanych jakimś argumentom:

$f(A) = \left\{y \in Y\colon \exists_{x \in A}\; y = f(x)\right\} \subseteq Y$ ,
przeciwobrazem zbioru $B \subseteq Y$ nazywa się zbiór

$f^{-1}(B) = \left\{x \in X\colon \exist_{y \in B}\; f(x) = y\right\} \subseteq X$ .

[edytuj] Wykres funkcji

Zobacz więcej w osobnym artykule: wykres funkcji.

Wykresem funkcji $f$ na zbiorze $A \subseteq X$ nazywa się zbiór

$W_f(A) = \left\{\left(x, f(x)\right)\colon x \in A \right\} \subseteq X \times Y$ .

Zatem wykres funkcji $W f (A)$ nie jest tym samym co jej obraz $f (A)$ : pierwszy z nich jest zbiorem uporządkowanych par elementów dziedziny i przeciwdziedziny (argumentów i ich obrazów), drugi zaś wyłącznie podzbiorem przeciwdziedziny.

[edytuj] Własności

Na funkcje można nakładać dodatkowe warunki, takie jak różnowartościowość, suriektywność, wzajemną jednoznaczność czy ciągłość.

[edytuj] Działania na funkcjach

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń funkcyjna.

Funkcje można rozpatrywać jako osobne obiekty i wykonywać na nich działania (czyli notabene stosować na nich inne funkcje), np. dodawanie, mnożenie, czy składanie. Tak ujęte funkcje bada się w algebrze, analizie funkcjonalnej oraz częściowo w topologii.

[edytuj] Rys historyczny

Ten artykuł wymaga dopracowania.
Należy w nim poprawić: pusta sekcja.
Więcej informacji co należy poprawić, być może znajdziesz w dyskusji tego artykułu lub na odpowiedniej stronie. W pracy nad artykułem należy korzystać z zaleceń edycyjnych. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.
Możesz także przejrzeć pełną listę stron wymagających dopracowania.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Pojęcie funkcji

[edytuj] Link zewnętrzny

FooPlot (en) - kalkulator graficzny funkcji.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../f/u/n/Funkcja_%28matematyka%29.html"

Kategorie: Artykuły wymagające dopracowania • Funkcje matematyczne • Relacje • Teoria mnogości

Funkcja (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja formalna

[edytuj] Nazwa

[edytuj] Podstawowe pojęcia

[edytuj] Wykres funkcji

[edytuj] Własności

[edytuj] Działania na funkcjach

[edytuj] Rys historyczny

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Link zewnętrzny

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach