Ruchy Browna - ogólna charakterystyka i rodzaje

Z Wikipedii

• Definicja - Nieustanne i nieregularne ruchy makrocząsteczek(cząsteczka mała co do rozmiarów makroskopowych, ale duża w porównaniu z rozmiarami cząsteczek ośrodka w którym się znajduje) zawieszonej w ośrodku ciekłym, gazowym lub stałym nazywamy ruchami Browna.

• Matematyczna definicja - proces stochastyczny {B(t): t ≥ 0} nazywamy ruchem Browna ( procesem Wienera) jeśli:
  • B(0) = 0;
  • {B(t): t ≥ 0} ma niezależne przyrosty;
  • B(t) – B(s) ~ N(0,t-s) dla 0 ≤ s < t < ∞, gdzie N(µ,σ2) to zmienna gaussowska o średniej µ i wariancji σ2.

• Przykładowa trajektoria:

• Ogólna charakterystyka

Z ruchami Browna mamy do czynienia, gdy obserwujemy zygzakowatą trajektorię cząsteczki zawiesiny. Najbardziej znany przypadek to zaobserwowany, przez Browna ruch makrocząsteczek(pyłki kwiatowe, pyłki sadzy i kurzu) zawieszonych w wodzie. Obserwuje się także bardziej wyrafinowane przypadki, np.: ruchy elektronu zawieszonego w gazie fotonowym a dokładniej, w zrównoważonym promieniowaniu ciała doskonale czarnego. Ruchy Browna są wszechobecne i mają charakter uniwersalny. Setki przypadków zostało przebadanych już w pierwszej połowie XX wieku. W każdym przypadku obserwowany ruch miał ten sam erratyczny charakter. Ponadto, jedną z głównych własności tego ruchu jest wzrost prędkości cząstki wraz ze zmniejszaniem się jej rozmiarów. Na przykład, dla makrocząsteczki o promieniu 1 mm zawieszonej w wodzie ruch ten jest ledwo dostrzegalny, podczas gdy dla cząsteczki o mikroskopijnej wielkości ruch ten jest znaczny. Wynika to z własności ośrodka (płynu) zwanego lepkością. Kolejną charakterystyczną cechą ruchów Browna jest jego nieustanność – trwa on dopóki makrocząsteczka jest zawieszona w płynie; ruch taki był obserwowany przez Browna w próbce przez ponad rok. Następną ważną własnością jest niewrażliwość tego ruchu na czynniki zewnętrzne. Pole elektryczne, słabe światło (dopóki nie nagrzeje próbki), siła ciężkości (dopóki makro cząsteczka nie opadnie na dno) i podobne zaburzenia zdają się nie mieć żadnego widocznego wpływu na ruch.

• Rodzaje i zastosowania

1. Arytmetyczny ruch Browna

1. • może być używany do modelowania wielkości:
     • które mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne
     • których przyrosty mają rozkłady normalne
   • mogą być używane do modelowania cen akcji, indeksów giełdowych w bardzo krótkich horyzontach czasowych (do jednego dnia)
   • nie nadają się do modelowania cen akcji, indeksów giełdowych w długich horyzontach czasowych

• Przykładowa trajektoria:

2. Geometryczny ruch Browna

1. • Standardowo jest używany do modelowania cen akcji, indeksów giełdowych, kursów walutowych i innych wielkości ekonomicznych, których zwroty mają w przybliżeniu rozkład normalny
   • Jeśli modelując ruch startujemy z wartości dodatniej to w dalszej części ruch ten pozostanie dodatni
   • Ruch ma barierę absorbującą na poziomie 0, tzn. jeśli osiągnie poziom zero, to już pozostanie na tym poziomie
   • Nie nadają się do modelowania cen akcji wypłacających dywidendy, stóp procentowych

Zródło:Aleksander Janicki, Adam Izydorczyk, Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym, WNT 2001.