Proces stochastyczny
Z Wikipedii
Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy, pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg notowań giełdowych, liczba rzeczywista).
Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).
W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Matematycznie, proces stochastyczny jest zazwyczaj definiowany jako rodzina zmiennych losowych:
gdzie: Xt - zmienna losowa, zaś T to zbiór indeksów procesu stochastycznego.
Zmienne muszą być określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej.
Zbiór wartości zmiennych losowych Xt nazywamy przestrzenią stanów procesu stochastycznego, zaś pojedyncza wartość zmiennej losowej to stan procesu stochastycznego.
Procesy stochastyczne zdefiniowane na dyskretnej przestrzeni stanów nazywane są łańcuchami.
Definicja obejmuje ideę funkcji losowej w następujący sposób. Aby z funkcji
- f : D → R
z dziedziną funkcji D i obrazem R zrobić funkcję losową, należy wszystkie wartości funkcji f(x) we wszystkich punktach D zamienić na zmienne losowe z wartościami w R. Dziedzina D staje się zbiorem indeksów procesu stochastycznego, zaś proces stochastyczny jest zdeterminowany przez połączone dystrybuanty różnych zmiennych losowych f(x).
Należy jednak zauważyć, że definicja procesu stochastycznego jako rodziny zmiennych losowych jest o wiele bardziej ogólna niż przypadek, kiedy indeksami są punkty dziedziny funkcji losowej.
[edytuj] Implikacje definicji
Oczywiście matematyczna definicja funkcji dopuszcza przypadek "funkcja ze zbioru {1,...,n} w R jest wektorem w Rn", więc wielowymiarowa zmienna losowa stanowi specjalny przypadek procesu stochastycznego.
[edytuj] Interesujące przypadki specjalne
- procesy Bernoulliego
- proces Wienera
- procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
- procesy Poissona
- procesy stacjonarne
- procesy homogeniczne: proces, gdzie dziedzina posiada pewną symetrię i skończenie-wymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa także mają tę symetrię. Specjalny przypadek obejmuje proces stacjonarny.
- procesy o przyrostach niezależnych: procesy, gdzie dziedzina jest przynajmniej częściowo uporządkowana i jeśli x1 <...< xn, wszystkie zmienne f(xk+1) − f(xk) są niezależne
- łańcuchy Markowa
- procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S
- procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym
- martyngały
- procesy Galtona-Watsona
- proces gałązkowy
[edytuj] Przykłady
[edytuj] Procesy Stacjonarne
Proces Stochastyczny X(t) nazywamy stacjonarnym jeżeli jego właściwości nie zmieniają się przy przesunięciu osi czasu. Konkretnie: o ile dla każdego 0<s<t X(t+s)-X(s)~ X(t)-X(0)
[edytuj] Konstruowanie procesów stochastycznych
W normalnej aksjomatyzacji teorii prawdopodobieństwa środkami teorii miary, podstawowym zadaniem jest konstrukcja sigma-algebry zbiorów mierzalnych w przestrzeni wszystkich funkcji i zbudowanie na niej skończonej miary. W tym celu tradycyjnie używa się metody zwanej rozszerzeniem Kołmogorowa.
[edytuj] Rozszerzenie Kołmogorowa
Rozszerzenie Kołmogorowa przebiega według następującego schematu: zakładając, że miara prawdopodobieństwa na przestrzeni wszystkich funkcji f : X → Y istnieje, może być ona użyta do zdefiniowania rozkładu prawdopodobieństwa dla skończenie-wymiarowych zmiennych losowych [f(x1),...,f(xn)]. Teraz, z tego n-wymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa możemy uzyskać (n-1)-wymiarowe rozkład brzegowy dla [f(x1),...,f(xn-1)]. Istnieje oczywisty warunek zastosowania metody, mianowicie taki, że ten rozkład brzegowy musi być taki sam jak ten uzyskany z w pełni rozwiniętego procesu stochastycznego. Kiedy wyrazimy ten warunek w kategoriach gęstości rozkładów, rezultatem będzie równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego.
Twierdzenie o rozszerzeniu Kołmogorowa gwarantuje istnienie procesu stochastycznego z daną rodziną skończenie-wymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa spełniających warunek Chapmana-Kołmogorowa.
[edytuj] Czego rozszerzenie Kołmogorowa nie obejmuje
W aksjomatyzacji Kołmogorowa, zbiory mierzalne są zbiorami, które mają prawdopodobieństwo, innymi słowy, zbiorami dla których pytania tak/nie mają probabilistyczną odpowiedź.
Rozszerzenie Kołmogorowa zaczyna się deklaracją, że mierzalne są wszystkie zbiory funkcji, gdzie skończenie wiele współrzędnych [f(x1),...,f(xn)] leży w mierzalnych podzbiorach Yn. Innymi słowy, jeśli na pytania tak/nie o f można uzyskać odpowiedź biorąc co najwyżej skończoną liczbę współrzędnych, wtedy pytanie ma probabilistyczną odpowiedź.
W teorii miary, jeśli mamy przeliczalną rodzinę mierzalnych zbiorów, wtedy suma i przecięcia wszystkich tych zbiorów jest zbiorem mierzalnym. Dla naszych celów oznacza to, że te pytania tak/nie, które zależą od policzalnie wielu współrzędnych, mają probabilistyczną odpowiedź.
Dobra wiadomość jest taka, że rozszerzenie Kołmogorowa umożliwia konstruowanie procesów stochastycznych z ustalonymi skończenie-wymiarowym rozkładami. Każde pytanie, które można zadać na temat ciągu, ma także probabilistyczną odpowiedź dla ciągów losowych. Zła wiadomość jest taka, że pewne pytania o funkcje określone na ciągłej dziedzinie nie mają probabilistycznej odpowiedzi. Można mieć nadzieję, że pytania, które zależą od niepoliczalnie wielu wartości funkcji nie zdarzają się często, ale naprawdę zła wiadomość jest tak, że praktycznie wszystkie pomysły analizy matematycznej są tego rodzaju. Na przykład:
wszystkie wymagają znajomości niepoliczalnie wielu wartości funkcji.
Jednym z rozwiązań jest zdefiniowanie procesu stochastycznego jako rozkładalnego. Innymi słowy, że istnieje policzalny zbiór współrzędnych {f(xi)} którego wartości definiują całą funkcję losową f.
