Test dla wariancji

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Testy dla wariancji - są to testy parametryczne służące do weryfikacji hipotez statystycznych dotyczących wartości wariancji w populacji generalnej lub też do porównania wartości wariancji w dwóch lub kilku populacjach – na podstawie znajomości wartości badanej cechy w losowej próbie (lub w kilku próbach). Rozstrzygnięcie pytań dotyczących wariancji jest ważne m. in. dlatego, że wiele testów służących do porównania wartości średnich w dwóch lub kilku populacjach wymaga przyjęcia założenia o równości wariancji w tych populacjach (tak zwane założenie o jednorodności wariancji). Ponadto wariancja może być miernikiem dokładności w procesie pomiarowym lub produkcyjnym (zbyt duża wariancja wyników pomiaru może na przykład świadczyć o uszkodzeniu lub rozregulowaniu aparatury lub urządzeń).

[edytuj] Struktura i podział testów

Hipotezy dotyczące wariancji testuje się zgodnie z ogólnymi zasadami testowania hipotez statystycznych: formułujemy hipotezy, zakładamy poziom istotności $\alpha\,$ – dopuszczalną wartość błędu pierwszego rodzaju (tj. prawdopodobieństwo odrzucenia prawdziwej hipotezy H0) i na podstawie danych z próby wyznaczamy wartość statystyki testowej, po czym porównujemy ją z wartościami krytycznymi odczytanymi z tablic odpowiedniego rozkładu teoretycznego. Przy konstrukcji wszystkich omawianych niżej testów przyjmowane jest założenie, że badane cechy maja w populacjach generalnych rozkład normalny.

Postać stosowanej statystyki testowej zależy od kilku czynników:
- czy badamy hipotezę dotyczącą jednej, dwóch czy wielu wariancji?
- czy porównujemy próby niezależne, czy zależne ( skorelowane, powiązane)?
- jaka jest liczebność próby (prób)?. Przyjmuje się na ogół (dość arbitralnie), że próba jest duża, gdy jej liczebność n>30 (można wtedy zakładać, że statystyki mają rozkład normalny - patrz centralne twierdzenie graniczne). W przypadku przeciwnym - mamy do czynienia z próbami małymi.

Poniżej przedstawiono w skrócie kilka testów najczęściej stosowanych w poszczególnych sytuacjach.

[edytuj] Testy dla jednej wariancji

Porównujemy wariancję w populacji z „wzorcową” wartością $\sigma_{0}^{2}$ .

Hipotezy mają postać: H0: $\sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}$ ,

H1: postać hipotezy alternatywnej zależy od sformułowania zagadnienia: (a) $\sigma^{2}>\sigma_{0}^{2}$ albo (b) $\sigma^{2}<\sigma_{0}^{2}$ albo też (c) $\sigma^{2}\not=\sigma_{0}^{2}$ .

Postać statystyki i dalszy przebieg testu zależy od rozmiaru próby.

[edytuj] Próby małe

Wyznaczamy wartość statystyki

$\chi^{2}=\frac{n\cdot s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}$

s 2

jest tutaj wariancją z próby a

n

– liczebnością próby. Statystyka ta ma rozkład chi-kwadrat - zatem wartość krytyczną $\chi^{2}_{kryt}$ odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat dla

v = n - 1

stopni swobody i dla poziomu istotności $alpha\,$ – gdy hipoteza alternatywna H1 ma postać (a), w przypadku (b) – odczytujemy z tablic wartość $\chi^{2}_{kryt}=\chi^{2}(1-\alpha,v)$ , a w przypadku (c)- odczytujemy dwie wartości: $\chi^{2}_{kryt1}=\chi^{2}(1-\frac{\alpha}{2},v)$ oraz $\chi^{2}_{kryt2}=\chi^{2}(\frac{\alpha}{2},v)$ .

Przedział krytyczny – w przypadku (a) jest prawostronny, czyli gdy $\chi^{2}>\chi^{2}_{kryt}$ – odrzucamy H0, w przypadku przeciwnym – nie ma podstaw do jej odrzucenia. W przypadku (b) – przedział krytyczny jest lewostronny (dla $\chi^{2}<\chi^{2}_{kryt}$ odrzucamy H0), a w przypadku (c) – przedział krytyczny jest obustronny.

[edytuj] Próby duże

Dla liczebności próby $n > 30$ możemy przekształcić wyznaczoną w poprzednim punkcie statystykę chi-kwadrat w statystykę $z$ o rozkładzie normalnym obliczając:

$z=\sqrt{2\chi^{2}}-\sqrt{2v-1}$

W powyższym wzorze $χ 2$ oraz $v = n - 1$ oznaczają statystykę chi-kwadrat i jej liczbę stopni swobody wyznaczone tak, jak w poprzednim paragrafie (dla prób małych).

Wartości krytyczne znajdujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego.Jeżeli $F n (z)$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, a $F_{n}^{-1}(\alpha)$ - funkcją odwrotną do dystrybuanty, natomiast $α$ - założonym poziomem istotności – to odczytujemy: dla przypadku (a) $z_{kryt}=F_{n}^{-1}(1-\alpha)$ , w przypadku (b) $z_{kryt}=F_{n}^{-1}(\frac{\alpha}{2})=- F_{n}^{-1}(1-\alpha)$ , zaś w przypadku (c) mamy 2 wartości graniczne: $z_{kryt1}=F_{n}^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})$ oraz $z k r y t 2 = - z k r y t 1$ .Dalszy przebieg testu i wnioski – jak poprzednio.

[edytuj] Testy dla dwóch wariancji

Mamy tu do czynienia z dwiema próbami o liczebnościach $n 1$ i $n 2$ ,znamy też „wariancje z próby” (estymatory wariancji) $s_{1}^{2}$ i $s_{2}^{2}$ - testujemy hipotezę, że próby te pochodzą z populacji o jednakowych wariancjach. Postać hipotez:

H0: $\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}$ ,

H1: postać hipotezy alternatywnej zależy od sformułowania zagadnienia:

(a) $\sigma_{1}^{2}>\sigma_{2}^{2}$ albo (b) $\sigma_{1}^{2}<\sigma_{2}^{2}$ albo też (c) $\sigma_{1}^{2}\not=\sigma_{2}^{2}$ .

[edytuj] Testy dla dwóch prób niezależnych

[edytuj] Próby małe

–można tu wykorzystać kilka testów:

[edytuj] Test Fishera

Przyjmujemy $\sigma_{1}^{2}>\sigma_{2}^{2}$ i wyznaczamy statystykę z próby o postaci:

$F=\frac{n_{1}(n_{2}-1)s_{1}^{2}}{n_{2}(n_{1}-1)s_{2}^{2}}$

Statystyka ta ma rozkład Fishera –Snedeccora o liczbie stopni swobody $v 1 = n 1 - 1$ i $v 2 = n 2 - 1$ . Z tablic tego rozkładu – dla testu prawostronnego - odczytujemy wartość krytyczną $F k r y t 1 = F (α, v 1, v 2)$ . Jeżeli mamy stosować test lewostronny – najprościej jest zamienić miejscami próby 1 i 2, zaś w przypadku testu obustronnego wyznaczamy $F_{kryt1}=F(\frac{\alpha}{2},v_{1},v_{2})$ oraz drugą wartość graniczną ze wzoru: $F_{kryt2}=\frac{1}{F_{kryt1}}$ .

[edytuj] Test t-Studenta

(dwie małe próby o równych liczebnościach)

Stosujemy statystykę

$t=\frac{s_{1}^{2}-s_{2}^{2}}{2\sqrt{ s_{1}^{2}\cdot{ s_{2}^{2}}}}\cdot\sqrt{n-1}$

(n jest tutaj wspólną liczebnością obu prób). Statystyka ta ma rozkład Studenta o $v = n - 1$ stopniach swobody.

[edytuj] Test Linka

Gdy znane są jedynie rozstępy $R 1$ i $R 2$ obu prób, wtedy wyznaczamy statystykę

$F^{*}=\frac{R_{1}}{R_{2}}$

przy czym w liczniku powinna być większa wartość (hipoteza H1 ma postać (a)). Statystykę tę porównujemy z wartością krytyczną odczytaną ze specjalnych tablic dla testu Linka - patrz np.(Zieliński, 1972).

[edytuj] Próby duże

( $n 1 > 30$ i $n 2 > 30$ ) W tym przypadku można wykorzystać statystykę z o rozkładzie normalnym:

$z=\frac{s_{1}^{2}-s_{2}^{2}}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{2n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{2n_{2}}}}$

i porównać jej wartość z wartościami granicznymi wyznaczonymi z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego w dokładnie taki sam sposób, jak opisano to dla testu dla jednej wariancji i dużej próby.

[edytuj] Testy dla dwóch prób zależnych

Przypadek taki zachodzi np. gdy badamy ten sam zbiór obiektów w dwóch różnych sytuacjach ( w różnych warunkach) - wtedy na ogół liczebności prób są jednakowe (n1=n2=n).

[edytuj] Test Morgana dla prób małych

Wyznaczamy statystykę o rozkładzie t-Studenta:

$t=\frac{s_{1}^{2}-s_{2}^{2}}{2\sqrt{{s_{1}^{2}}\cdot{s_{2}^{2}}\cdot(1-r^{2})}}{\cdot\sqrt{n-2}}$

gdzie n jest wspólną liczebnością prób, a r – współczynnikiem korelacji Pearsona, który jest miarą korelacji pomiędzy wynikami w próbie 1 i próbie 2. Tę wartość statystyki t porównujemy z wartością krytyczną ( lub 2 wartościami krytycznymi) odczytanymi z tablic rozkładu t-Studenta dla $v = n - 2$ stopni swobody.

[edytuj] Test Morgana dla prób dużych

- test przebiega podobnie, z tą różnicą, że wartości graniczne można odczytać z tablicy rozkładu normalnego ( bo dla dużych wartości stopni swobody rozkład t-Studenta zmierza asymptotycznie do rozkładu normalnego).

[edytuj] Testy dla wielu wariancji:

Mamy k prób. Hipotezy mają postać: H0: $\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\dots=\sigma_{k}^{2}$

H1: „nie H0” ( nie wszystkie wariancje są równe)

[edytuj] Próby niezależne

[edytuj] Test Bartletta

Gdy liczebności prób są różne – stosujemy test Bartletta, oparty na statystyce chi-kwadrat:

$\chi^{2}=\frac{v\cdot\ln \overline s^{2}-\sum_{j=1}^{k}(v_{j}\cdot\ln s_{j}^{2})}{c}$

przy czym we wzorze tym $n i$ są liczebnościami poszczególnych prób,

$s_{i}^{2}$ – wariancjami z próby,

$v i = n i - 1$

natomiast wielkości v, s i c wyznaczamy ze wzorów:

$v=\sum_{i=1}^{k}n_{i}-k$ - wielkość ta jest liczbą stopni swobody testu,

$\overline{s}^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{k}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{n-k}$

$c=1+{\frac{1}{3(k-1)}}\cdot\left({\sum_{i=1}^{k}{\frac{1}{v_{i}}}-\frac{1}{v}}\right)$

Ta wartość $χ 2$ jest porównywana z wartością krytyczną wyznaczoną z tablic rozkładu chi-kwadrat dla v stopni swobody. Obszar krytyczny jest zawsze prawostronny (zbyt duże wartości statystyki świadczą o niejednorodności wariancji).

Aby można było stosować test Bartletta – musi być spełnione założenie, że liczebności prób nie są skrajnie małe, tzn. że $n_{i}\geq5$ dla każdego i.

Gdy mamy k prób równolicznych, każda o liczebności k – możemy stosować też inne testy (prostsze rachunkowo):

[edytuj] Test Hartleya

Wyznaczamy statystykę $F h$ :

$F_{h}=\frac{\hat{s}_{max}^{2}}{\hat{s}_{min}^{2}}$

gdzie $\hat{s}_{i}^{2}=s_{i}^{2}\cdot\frac{n_{i}}{n_{i}-1}$ - nieobciążone estymatory wariancji dla każdej z prób $(i=1,2,\dots,k$ ) a $\hat{s}_{max}^{2}$ oraz $\hat{s}_{min}^{2}$ są największą i najmniejszą spośród wariancji $\hat{s}_{i}^{2}$ . Wartość statystyki $F h$ musi być porównywana z wartościami krytycznymi odczytywanymi z tablic specjalnie skonstruowanych dla tego testu (p.np. Zieliński 1972).Test Hartleya ma zawsze prawostronny obszar krytyczny.

[edytuj] Test Cadwella

Jest to test do badania hipotezy o jednorodności wariancji dla k prób niezależnych i równolicznych ( o liczebności n każda). Test ten jest oparty na wartości rozstępów, wyznaczamy mianowicie wartość statystyki:

$C^{*}=\frac{R_{max}}{R_{min}}$

(stosunek największego do najmniejszego rozstępu w badanych próbach) i porównujemy tę wartość z wartością krytyczną odczytaną z tablic specjalnie dostosowanych do tego testu, która zależy od poziomu istotności $\alpha\,$ , liczby prób k i ich liczebności n. Test ten, tak jak poprzednie, jest zawsze prawostronny.

[edytuj] Próby zależne

[edytuj] Test Patnaika

Mamy k prób zależnych o liczebności n każda. Liczebności powinny spełniać warunek $n\cdot{k}>10$ . Test oparty jest na wartościach rozstępów poszczególnych prób. Wyznaczamy dwie wartości:

- średni rozstęp $\overline{R}=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}R_{i}$ oraz

- „rozstęp rozstępów” $R_{R}=R_{max}-R_{min}\,$

po czym porównujemy wartość stosunku $q_{s}=\frac{cR_{R}}{\overline{R}}$ z odpowiednią wartością krytyczną $q_{kryt}\,$ . Zarówno ta wartość krytyczna jak i stała $c\,$ musi być odczytana z tablic specjalnie przygotowanych dla tego testu . Obszar krytyczny testu jest prawostronny, tj. gdy $q_{s}>q_{kryt}\,$ - wnioskujemy, że wariancje w porównywanych populacjach nie są jednorodne. W takim przypadku – można stosować ten test sekwencyjnie ( w kolejnych podgrupach).

[edytuj] Bibliografia

Tablice statystyczne

Zieliński R.,’’Tablice statystyczne’’, PWN, Warszawa 1972
Barańska Z.,’’Podstawy metod statystycznych dla psychologów’’, Wyd. Uniw. Gdańskiego, Gdańsk 2000, ISBN 83-7017-839-1 (m.in. cytowane są tablice dla testów Patnaika i Cadwella’’)

Linki zewnętrzne

Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładów: normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F (Fishera-Snedeccora)

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../t/e/s/Test_dla_wariancji.html"

Kategoria: Statystyka

Test dla wariancji

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Struktura i podział testów

[edytuj] Testy dla jednej wariancji

[edytuj] Próby małe

[edytuj] Próby duże

[edytuj] Testy dla dwóch wariancji

[edytuj] Testy dla dwóch prób niezależnych

[edytuj] Próby małe

[edytuj] Test Fishera

[edytuj] Test t-Studenta

[edytuj] Test Linka

[edytuj] Próby duże

[edytuj] Testy dla dwóch prób zależnych

[edytuj] Test Morgana dla prób małych

[edytuj] Test Morgana dla prób dużych

[edytuj] Testy dla wielu wariancji:

[edytuj] Próby niezależne

[edytuj] Test Bartletta

[edytuj] Test Hartleya

[edytuj] Test Cadwella

[edytuj] Próby zależne

[edytuj] Test Patnaika

[edytuj] Bibliografia

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj