Rozkład Studenta

Z Wikipedii

Rozkład Studenta– (rozkład t lub rozkład t-Studenta) ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie błędów pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znamy natomiast odch. standardowego w populacji. Zagadnienie to rozwiązał (w 1908r.) W.S.Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów X_i, a niezależną od .

Spis treści 1 Definicja 2 Gęstość prawdopodobieństwa 3 Własności 4 Zastosowania 5 Bibliografia 5.1 Tablice statystyczne 5.2 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicja

Rozkład Studenta z v stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej

gdzie U jest zmienną losową zestandaryzowaną, czyli mającą standardowy rozkład normalny ~ N(0,1), a Z - zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat i v stopniach swobody oraz U i Z są zmiennymi losowymi niezależnymi.

[edytuj] Gęstość prawdopodobieństwa

Zmienna losowa t określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

gdzie: Γ(x) to funkcja gamma.

[edytuj] Własności

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru v – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości v zmierzają do standardowego rozkładu normalnego N(0,1). Dla małych v różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o v stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu v-1, w szczególności dla v=1 rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy'ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia). Podstawowe parametry rozkładu Studenta w zależności od liczby stopni swobody:

• średnia =0 (dla v>1)
• moda =0
• mediana =0
• wariancja = - dla v > 2
• skośność =0 - dla v > 3
• kurtoza = - dla v > 4

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody v w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego N(0,1).

[edytuj] Zastosowania

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

1)Jeżeli zmienne losowe X₁,X₂,...,X_n mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej m i wariancji σ², to zmienna t określona wzorem

gdzie jest wartością średnią z próby, zaśs - odchyleniem standardowym z próby - ma rozkład t-Studenta o v=n-1 stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji σ²).

2)Jeżeli dwie próby o liczebnościach n₁ oraz n₂, wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna t określona wzorem:

ma rozkład t-Studenta o v = n₁ + n₂ − 2 stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych - gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody v=n-1 i przyjętego poziomu istotności .

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości t_α, że P(t > t_α) = α lub P( | t | < t_α) = α. Wartości te podają tablice rozkładu t-Studenta.

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Tablice statystyczne

• Zieliński R.,’’Tablice statystyczne’’, PWN, Warszawa, 1972

[edytuj] Linki zewnętrzne

• VassarStats Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (O historii terminu “Rozkład Studenta”)
• Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładu normalnego, t-Studenta, chi-kwadrat oraz F