Twierdzenie Cochrana

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Cochrana – twierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Spis treści

1 Założenia
2 Teza
3 Przykład
4 Zobacz też

[edytuj] Założenia

Załóżmy, że $U_1, U_2, \dots, U_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość

$\sum_{i=1}^n~U_i^2 = Q_1 + \dots + Q_k$ ,

gdzie $Q i$ są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych $U i$ . Jeśli

$r_i + \dots +r_k = n$

gdzie $r i$ są rzędami $Q i$

[edytuj] Teza

Zmienne $Q i$ są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ² z $r i$ stopniami swobody.

[edytuj] Przykład

Jeśli $X_1, \dots, X_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią $μ$ i odchyleniem standardowym $σ$ , wtedy

$U_i = {X_i-\mu \over \sigma}$

ma standardowy rozkład normalny dla każdego $i$ .

Możemy zapisać:

$\sum_{i=1}^n~(X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n~(X_i + \overline X - \overline X - \mu) =$

$= \sum_{i=1}^n~(X_i-\overline X)^2 + \sum_{i=1}^n~(\overline X - \mu)^2 + 2\sum_{i=1}^n~(X_i - \overline X)(\overline X - \mu)$ .

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez

$\sum_{i=1}^n~(X_i - \overline X)$ ,

natomiast drugi składnik jest sumą $n$ identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez $σ 2$ otrzymujemy:

$\sum_{i=1}^n~\left( {X_i - \mu \over \sigma} \right)^2 = \sum_{i=1}^n~\left( {X_i - \overline X \over \sigma} \right)^2 + n\left( {\overline X - \mu \over \sigma} \right)^2 = Q_1 + Q_2$ .

Ranga $Q 2$ wynosi $1$ (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga $Q 1$ być z kolei obliczona jako $n - 1$ .

Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że $Q 1$ i $Q 2$ są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład $χ 2$ ze stopniami swobody odpowiednio $n - 1$ i $1$ .

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

$(\overline X - \mu)^2 \sim {\sigma^2 \over n}\chi^2_1$ .