Zmienna losowa
Z Wikipedii
Zmienna losowa – funkcja, która tzw. zdarzeniom elementarnym przypisuje liczby. Na przykład, zmienną losową opisującą osobnika wylosowanego z pewnej populacji może być waga jego ciała.
Zjawiskom o charakterze losowym, które nie są w oczywisty sposób opisane jakąś miarą liczbową (jak waga czy wzrost), można przyporządkować liczby, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (orłu przypisujemy, na przykład 0, a reszcze 1) i kostka do gry, gdzie każdej ściance przypisać możemy liczbę naturalną równą liczbie oczek. Bardziej życiowe przykłady to: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia, oceniane w skali od 1 do 5.
[edytuj] Definicja
Zmienna losowa X to funkcja mierzalna z przestrzeni probabilistycznej Ω do zbioru liczb rzeczywistych. Mierzalność rozumiemy względem σ-ciała zdarzeń na Ω i σ-ciała zbiorów borelowskich w R.
Tradycyjnie, zmienne losowe zapisujemy przy użyciu wielkich liter z końca alfabetu, odmiennie niż zazwyczaj zapisuje się funkcje.
Czasem rozważa się zmienne losowe o wartościach zespolonych.
Odwzorowanie mierzalne z Ω w przestrzeń euklidesową Rn nazywa się wektorem losowym. Odwzorowanie takie ma postać X(ω) = (X1(ω), X2(ω), ..., Xn(ω), gdzie Xi(ω) są zmiennymi losowymi.
[edytuj] Przykłady
- Niech Ω będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników dwukrotnego rzutu kostką – zbiór ten składa się z 36 par postaci (i, j), gdzie 1 ≤ i, j ≤ 6. Następujące funkcje są oczywiście zmiennymi losowymi: "iloczyn liczby oczek wyrzuconej za pierwszym i drugim razem", "suma liczby oczek wyrzuconej za pierwszym i drugim razem", "liczba oczek wyrzuconych za pierwszym razem".
- Niech Ω = [0, 1] z miarą Lebesgue'a. Każda funkcja ciągła z Ω w R jest zmienną losową.
