Twierdzenie Ptolemeusza
Z Wikipedii
Twierdzenie Ptolemeusza – opisuje czworokąt wpisany w okrąg. Jego sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi, wybitnemu astronomowi i matematykowi starożytnemu.
[edytuj] Teza
W dowolnym czworokącie ABCD wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków:
.
Dla czworokątów, które nie dają się wpisać w okrąg, iloczyn długości przekątnych jest mniejszy od sumy iloczynów długości boków przeciwległych. Jest to tzw. nierówność Ptolemeusza:
.
[edytuj] Dowód
Weźmy dowolny czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Umieśćmy punkt K na przekątnej AC tak, że półprosta BK przecina przekątną AC tak, aby 
. W wyniku tego otrzymaliśmy trójkąty ΔABD i ΔKBC. 
Warto zauważyć, że (z konstrukcji) oraz 
, ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty ΔABD i ΔKBC są więc podobne i mamy
- | KC | : | AD | = | BC | : | BD | ,
skąd
.
Widać, że trójkąty ΔABK i ΔDBC, mające równe kąty 
i 
oraz kąty 
i 
(kąty wpisane oparte na tym samym łuku) są do siebie podobne. Odpowiednie boki są więc do siebie proporcjonalne:
- | AK | : | DC | = | AB | : | BD | ,
zatem
.
Sumując ze sobą równości oraz , otrzymujemy
,
co w konsekwencji daje
i ostatecznie
,
co należało wykazać.
