Okrąg

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł dotyczy krzywej zamkniętej. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.

Okrąg $o(A,r)\,$ o środku w punkcie A i promieniu r - zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które są odległe od punktu A o odległość r.

Inaczej można powiedzieć, że okrąg to brzeg koła bez jego wnętrza.

Okrąg

Okrąg, w geometrii analitycznej, w kartezjańskim układzie współrzędnych, opisywany jest wzorem:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2= r^2 \,$

gdzie $(x_0, y_0)\,$ to współrzędne środka okręgu, a wartość $r\,$ jest nazywana jego promieniem.

W kartezjańskim układzie współrzędnych okrąg może też być opisany równaniem parametrycznym:

$x=x_0+r \cos(\alpha) \,$

$y=y_0+r \sin(\alpha) \,$

Gdzie parametr $\alpha\,$ przyjmuje wartości ze zbioru $(0, 2 \pi )\,$ ,

Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach i jako taki jest krzywą stożkową.

Słowo "okrąg" jest często mylone ze słowem "okręg" oznaczającym obszar administracyjny.

[edytuj] Związane pojęcia

Promień to:

odcinek łączący środek z dowolnym punktem okręgu.
długość takiego odcinka

Cięciwa okręgu to odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu to:

cięciwa przechodząca przez środek okręgu
długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia okręgu.

Styczna do okręgu to prosta leżąca na tej samej płaszczyźnie co okrąg mająca z nim dokładnie jeden punkt wspólny.

Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne.

Długość okręgu wyraża się wzorem: $O=2\pi r \,$

$\pi\approx 3,14159265...$ jest stałą w powyższym wzorze, jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule: Pi.

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (nie okręgu! - okrąg nie ma wnętrza a więc i powierzchni) wyraża się wzorem: $S=\pi r^2 \,$

[edytuj] Okrąg w przestrzeni trójwymiarowej

Okrąg o środku w punkcie $O (x s, y x, z s)$ i promieniu $r$ , zanurzony w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej może być zdefiniowany jako część wspólna sfery o środku w O i płaszczyzny przechodzącej przez O. Opisuje go układ równań:

$\left\{\begin{matrix} A\cdot (x-s_x)+B\cdot (y-s_y)+C\cdot (z-s_z)=0 \\ (x-s_x)^2+(y-s_y)^2+(z-s_z)^2=r^2 \\ \end{matrix}\right.$

gdzie r>0 oraz A, B i C nie są równocześnie zerem.

[edytuj] Okrąg w przestrzeni wielowymiarowej

Okrąg zanurzony w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej o środku w punkcie $O (s 1, s 2,..., s n)$ i promieniu $r$ może być zdefiniowany jako część wspólna n-1-wymiarowej sfery o środku w O i n-2 hiperpłaszczyzn przechodzących przez O. Każdy okrąg w przestrzeni wielowymiarowej może zatem być opisany układem n-1 równań:

$\left\{\begin{matrix} a_{1,1}\cdot (x_1-s_1)+a_{1,2}\cdot (x_2-s_2)+\dots+a_{1,n}\cdot (x_n-s_n)=0 \\ a_{2,1}\cdot (x_1-s_1)+a_{2,2}\cdot (x_2-s_2)+\dots+a_{2,n}\cdot (x_n-s_n)=0 \\ \dots \\ a_{n-2,1}\cdot (x_1-s_1)+a_{n-2,2}\cdot (x_2-s_2)+\dots+a_{n-2,n}\cdot (x_n-s_n)=0 \\ (x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\dots (x_n-s_n)^2=r^2 \\ \end{matrix}\right.$

Jednak nie każdy układ równań tej postaci generuje okrąg, np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie okrąg, a np. sfera.

[edytuj] Okrąg w przestrzeni metrycznej

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną. Jest to wówczas zbiór elementów tej przestrzeni odległych od jakiegoś elementu przestrzeni zwanego środkiem okręgu dokładnie o zadaną odległość (promień) zgodnie z obowiązującą w danej przestrzeni metryką.

Dla dowolnych przestrzeni metrycznych:

$K_{\bar{x}_{0}}(r) = \{ \bar{x}: \rho(\bar{x}_{0},\bar{x})=r \}$