Wzór de Moivre'a
Z Wikipedii
Wzór de Moivre'a jest wzorem na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.
Jeżeli 
oraz n jest całkowite, to
.
Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):
Wzór ten odkrył i opublikował Abraham de Moivre.
Spis treści |
[edytuj] Dowód indukcyjny dla liczb naturalnych
[edytuj] Założenie
Dla 
wzór jest prawdziwy, ponieważ jest to typowa postać liczby zespolonej.
Dla 
.
[edytuj] Teza
Dla 
, mamy
[edytuj] Dowód
![=|z|^{k+1}\left[\cos k\varphi \cos\varphi-\sin k\varphi \sin\varphi+i(\sin k\varphi\cos\varphi+\cos k\varphi \sin\varphi)\right]=\quad](../../../math/d/9/4/d94218f6fbe2bbc173524799eeccb936.png)
![=|z|^{k+1}[\cos(k+1)\varphi+i\sin(k+1)\varphi]=P\quad_\Box](../../../math/e/e/2/ee21aa986e65acceb6e9af96669555f9.png)
