Stelling van De Moivre
Van Wikipedia
De stelling van De Moivre zegt dat voor elk reëel getal x en geheel getal n geldt dat:
- (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx).
waarin i staat voor de imaginaire eenheid.
Deze stelling is van belang, omdat het de verbinding vormt tussen de complexe getallen en de trigonometrie.
De stelling is geformuleerd door de Franse wiskundige Abraham de Moivre. Er is een verband tussen de stelling van De Moivre, en een door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler ontdekte formule.
De formule van Euler luidt: eiπ + 1 = 0. En dat is een speciaal geval van de door dezelfde Euler ontdekte formule
.
[bewerk] Bewijs van de stelling
De stelling van De Moivre is te bewijzen door in de formule
te substitueren: θ = nx.
[bewerk] Toepassing
Dat de stelling zeer 'krachtig' is, blijkt wanneer voor n bij wijze van toepassing een concreet getal wordt ingevuld.
Hierbij moet men tevens gebruiken dat twee complexe getallen z1 en z2 aan elkaar gelijk zijn dan en slechts dan als geldt:
- Re(z1) = Re(z2), én
- Im(z1) = Im(z2).
Dus z1 = z2 als zowel de reële delen als de imaginaire delen van deze complexe getallen aan elkaar gelijk zijn.
Als we nu bijvoorbeeld de waarde n = 4 invullen in de stelling van De Moivre, dan volgt:
- cos4x + 4icos3xsinx + 6i2cos2xsin2x + 4i3cosxsin3x + i4sin4x = cos(4x) + isin(4x).
ofwel
- cos4x - 6cos2xsin2x + sin4x + i{4cos3xsinx - 4cosxsin3x} = cos(4x) + isin(4x).
De conclusie is dat voor alle x de volgende goniometrische identiteiten gelden:
- cos(4x) = cos4x - 6cos2xsin2x + sin4x
- sin(4x) = 4cos3xsinx - 4cosxsin3x
