Índice de Shannon

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Este artigo encontra-se parcialmente em língua estrangeira. Ajude e colabore com a tradução.

O índice de Shannon (também chamado de índice Shannon-Weaver ou de índice do Shannon-Wiener) $H^{\prime}$ é um dos diversos índices da diversidade usados para medir a biodiversidade. A vantagem deste índice é que ele leva em consideração o número das espécies e a igualdade das espécies. The index is increased either by having more unique species, or by having a greater species evenness.
The "Shannon-Weaver" name is a misnomer; apparently some biologists jumped to the conclusion that Warren Weaver, author of an influential preface to the book form of Claude Shannon's 1948 paper founding information theory, was a cofounder of this theory. Weaver did play a crucial role in the rapid postwar development of information theory in a different way, however; as an influential early administrator of the Rockefeller Foundation, he ensured that the first information theorists received generous research grants. Norbert Wiener had no hand in the index either, although his influential popularisation of cybernetics was often conflated with information theory in the 1950s.

Índice

1 Definições
2 Calculando o índice
- 2.1 Firmeza que a máxima igualdade alcançar no ponto máximo do índice.
3 Referências
4 Ligações externas

[editar] Definições

$n i$ O número dos indivíduos em cada espécie; a abundância de cada espécie.
$S$ O número de espécies. Chamado também de riqueza.
$N$ O número total de todos os indivíduos: $\sum_{i=1}^S n_i$
$p i$ A abundância relativa de cada espécie, calculada pela proporção dos indivíduos de uma espécie pelo número total dos indivíduos na comunidade: $n_i\over N$

[editar] Calculando o índice

$H^\prime = -\sum_{i=1}^S p_i \ln p_i$

Aplicando o cálculo, pode-se mostrar que para qualquer determinado número de espécies, há um máximo possível $H^\prime$ , $H max = ln S$ o qual ocorre quando todas as espécies estiverem presentes em números iguais.

[editar] Firmeza que a máxima igualdade alcançar no ponto máximo do índice.

O seguinte prova que toda determinada população terá um índice máximo de Shannon se e somente se cada espécie representada por composta do mesmo número dos indivíduos.

Expandindo o índice:

$H^\prime = -\sum_{i=1}^S {n_i\over N} \ln {n_i\over N}$

$N H^\prime = -\sum_{i=1}^S n_i \left ( \ln n_i - \ln N \right ) = -\sum_{i=1}^S n_i \ln n_i + \ln N \sum_{i=1}^S n_i$

$N H^\prime - N \ln N = -\sum_{i=1}^S n_i \ln n_i$

Agora, vamos definir $H_s = -\sum_{i=1}^S n_i \ln n_i$ Evidentemente, desde que $N$ seja uma constante positiva para um tamanho de uma determinada população, e $N ln N$ é também uma constante, então a máximação $H s$ é equivalente a máximação $H^\prime$ .

[editar] Estratégia

Vamos dividir arbitrariamente uma população de um determinado tamanho em dois grupos, com cada grupo que recebe um número arbitrário de indivíduos e um número arbitrário de espécies. Agora, dentro de cada grupo, cada espécie tem o mesmo número dos indivíduos que quaisquer outras espécies do grupo, mas o número dos indivíduos por espécies no primeiro grupo pode ser diferentes do número dos indivíduos por espécies no segundo grupo.

Agora, se se puder provar que $H s$ alcança o ponto máximo quando o número dos indivíduos por espécies no primeiro grupo combina o número dos indivíduos por espécies no segundo grupo, tem-se provado então que a população tem um índice máximo somente quando cada espécie na população é representada uniformente. $H s$ não depende da população total.

Assim $H s$ pode ser construído simplesmente somando os índices de duas subpopulações. Desde que o tamanho da população é arbitrário, isto prova que se você tiver duas espécies (o número o menor que pode ser considerado dois grupos), seu índice é maximizado se estiverem presente em iguais números. As régras da Indução matemática foram assim satisfeitas.

[editar] Firmeza

Agora, dividi-se as espécies em dois grupos. Dentro de cada grupo, a população é distribuída uniformente entre as espécie presente.

$k$ O número dos indivíduos no segundo grupo.
$p$ O número de espécie no segundo grupo.
$n i 2 = k / p$ Número dos indivíduos em cada espécie no segundo grupo.
$N - k$ O número dos indivíduos no primeiro grupo.
$S - p$ As espécies no primeiro grupo.
$n_{i1} = {N-k \over S-p}$ Os indivíduos em cada espécie no primeiro grupo.

$H_s = -\sum_{i=1}^{S-p} {N-k \over S-p} \ln {N-k \over S-p} - \sum_{i=1}^p {k\over p} \ln {k \over p} = -\left ( N-k \right ) \ln {N-k \over S-p} - k \ln {k\over p}.$

Para descobrir o valor de $k$ maximiza $H s$ , nós devemos encontrar o valor de $k$ que satisfaça à equação:

${d\over dk}\, H_s=0.$

Diferenciação,

$\ln { N-k \over S-p} + (N-k){1 \over N-k} - \ln {k\over p} - k {1 \over k} = 0,$

$\ln {N-k\over S-p} = \ln {k \over p}$

Exponenciação:

${N-k\over S-p} = {k \over p} = {pN \over S}.$

Agora aplicando as definições de $N i 1$ e de $N i 2$ , nós obtemos

$N_{i1} = N_{i2} = {N\over S}.$

[editar] Resuntado

Agora nós temos realizado a prova que o índice do Shannon-Wiener maximisado quando cada espécie presente está em números iguais (ver #Estratégia). Mas que é o índice é esse caso? Bem, $n_i = {N\over S}$ , assim $p_i = {1\over S}$ conseqüentemente: