Conjunto de medida zero

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Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero é uma formalização da idéia de insignificante.

Na teoria das probabilidades, medida zero indica probabilidade zero.

Mais precisamente falando, se $(X,\mathfrak{M}, \nu)$ é um espaço de medida, um conjunto $E\in\mathfrak{M}$ é dito ter medida zero se:

$\nu(E)=0\,$

Um conjunto, por outro lado, é dito ter medida plena em X se o seu complementar em X tiver medida zero.

Em análise real, a medida de Lebesgue possui especial importância e, muitas vezes, usa-se o termo medida zero para indicar medida de Lebesgue zero. Mesmo em contextos de introdução à análise, o conceito de conjunto de medida zero é introduzido sem referências à teoria da medida.

Índice

1 Exemplo: conjunto de medida (de Lebesgue) zero na reta
- 1.1 Exemplo
- 1.2 Propriedades
2 Ver também

[editar] Exemplo: conjunto de medida (de Lebesgue) zero na reta

Seja $Z$ um conjunto qualquer na reta. Dizemos que $\{B_n\}_{n=1}^{\infty}$ é uma cobertura de bolas abertas para $Z$ se satisfizer as hipóteses:

$Z\subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$
$B_n=(a_n,b_n)\,$ são bolas abertas com centro em $\frac{a_n+b_n}{2}$ e raio $\frac{b_n-a_n}{2}$

O comprimento da cobertura ${B n}$ é definido como:

$\sum_{n=1}^\infty l(B_n) = \sum_{n=1}^\infty (b_n-a_n)$

Um conjunto $Z$ é dito ter medida zero se para todo $\varepsilon>0$ , existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a $\varepsilon$ .

[editar] Exemplo

O conjunto dos números inteiros, $\mathbb{Z}$ tem medida zero.

Sabe-se que $\mathbb{Z}$ é enumerável, portanto pode ser escrito como:

$\mathbb{Z}=\{x_j\}_{j=1}^{\infty}$

Fixe um $\varepsilon>0$ arbitrário e considere as bola:

$B_n=(x_j-\varepsilon 2^{-n}, x_j+\varepsilon 2^n)$

$l(B_n)= 2\varepsilon \cdot 2^{-n}$

E o comprimento da cobertura $\{B_n\}_{n=1}^{\infty}$ é:

$\sum_{n=1}^{\infty}l(B_n)=\sum_{n=1}^{\infty}2\varepsilon \cdot 2^{-n}=\varepsilon$

Observe que, de forma geral, todo conjunto enumerável possui medida de Lebesgue zero.

[editar] Propriedades

Pode-se imitar a demonstração acima para mostrar que a união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero
É facil ver que se $A\subseteq B\,$ e $B\,$ tem medida zero, então $A\,$ também tem medida zero (esta é a definição de medida completa).
O lema de Riemann-Lebesgue diz que uma função real limitada é integrável a Riemann se e somente se seus pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida zero.