Desigualdade de Bernoulli
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Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que:
, sempre que x > − 1 e n um número inteiro não negativo.
Esta desigualdade pode ser generalizada substituindo n por r um real positivo.
[editar] Demostração
Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue:
- Base:
.
- Indução:
Pela hipótese de indução, temos:
Multiplicado ambos os lados por (1 + x) (que é um termo positivo uma vez que x > − 1):
O termo nx2 é positivo e portanto:
[editar] Demonstração da versão mais geral
Defina a função auxiliar f(x) por:
Queremos mostrar que 
quando x > − 1.
Tomando derivada em x, temos:
ou seja:
Portanto, f(x) admite um mínimo global no ponto x = 0, onde é nula. Assim concluímos:
o que completa a demonstração.
