Elipse

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Nota: Se procura a figura de retórica, consulte Elipse (figura de estilo).

O gráfico de uma elipse e algumas de suas propriedades.

Em geometria, uma elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intercepte as duas folhas do cone, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja esferas de Dandelin.

Em alguns contextos, pode-se considerar o círculo como um caso especial de elipse (neste caso, o plano que corta o cone é paralelo à base do cone).

A elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se dist(F1, F2) = 2c, então a elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a; em que a > c (no caso especial do círculo, os pontos F1 e F2 coincidem).

Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

tal que $B^2 \le 4 AC$ , onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na elipse, existe. O caso $B^2 = 4 AC\,$ corresponde ao círculo.

[editar] Características

Possui:

A1A2 = 2a = eixo maior; B1B2 = 2b = eixo menor; F1F2 = 2c = distância focal.

Focos:

F1(-c,0); F2(c,0).

Relacionando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo B2CF2, temos:

$a 2 = b 2 + c 2$

De acordo com a definição, a distância de qualquer ponto para os focos é sempre 2a, ou seja:

$d (P F 1) + d (P F 2) = 2 a$

[editar] Equações

A equação da elipse é apresentada das seguintes formas:

1) Centro na Origem:

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: $x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1$

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: $x 2 / b 2 + y 2 / a 2 = 1$

2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como C(h,k):

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: $(x - h) 2 / a 2 + (y - k) 2 / b 2 = 1$

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: $(x - h) 2 / b 2 + (y - k) 2 / a 2 = 1$

[editar] Regras de Formação

O eixo maior da elipse é sempre maior (ou igual) que o eixo menor, ou seja, a >= b (sendo igual apenas quando a elipse é um círculo).

A excentricidade da elipse deve estar sempre entre 0 <= e < 1, onde $e = c / a$ (de novo, e = 0 apenas no caso do círculo).

Em geodésia e cartografia, é usado o conceito de achatamento (para se referir ao elipsóide de referência), definido por $f = (a - b)/a\,$ . Como este valor é sempre muito pequeno, ele costuma ser apresentado por seu inverso. Por exemplo, o achatamento do WGS 1984 é $\frac {1} {298.257 223 563}$ .

[editar] Área

A área interior de uma elipse é dada por $\pi ab\,\!$ , onde $π$ é a Constante de Arquimedes.

[editar] Curiosidades

A elipse pode ser construída usando-se dois pregos, um barbante e um lápis. Os pontos F1 e F2 são os focos da elipse, que pode ser definida como uma curva onde a soma das distâncias r1 e r2, dos focos a um ponto qualquer P, é constante. As linhas F1 P e F2 P formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto P. Se uma sala for construída em forma de elipse, uma onda de som ou de luz, partindo de F1 será refletida para o outro foco F2 pela propriedade anterior. Esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas nos focos F1 e F2 podem conversar entre si em voz baixa sem serem ouvidas por nenhuma outra pessoa da sala.