Extensão algébrica

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Uma extensão algébrica de um corpo é um corpo que é contra-domínio de um homomorfismo injetivo , em todo elemento de F é algébrico em E, ou seja, todo elemento é raiz de um polinômio cujos coeficientes são elementos de E. Esta definição é amplamente utilizada nos estudos de polinômios, notavelmente para a teoria de Galois. Note que a imagem de um polinômio por homomorfismo será um polinômio de mesmo grau; seus coeficientes serão imagem dos coeficientes do polinômio inicial:

Em particular, se é raiz deste polinômio - sabendo-se que um homomorfismo leva o elemento neutro da soma de um corpo no elemento neutro da soma do outro - logo será raiz do polinômio .

[editar] Exemplos

• A definição de extensão algébrica é, propositalmente, genérica para permitir construções de extensões. Um caso particular é quando , a função

é a função inclusão, E é um sub-corpo de F, e todo elemento de F é algébrico em E.

• O conjunto munido das aplicações usuais de soma e de multiplicação usuais dos números complexos é um corpo. A aplicação é dada por . Assim, o corpo é uma extensão algébrica de

• O conjunto dos números algébricos é uma extensão algébrica do conjuntos dos números racionais.

• O corpo , formado pelos números reais da forma , sendo f e g polinômios com coeficientes inteiros, não é uma extensão algébrica de , porque π não é algébrico em . Esse é um exemplo de uma extensão transcendente.

• O corpo , formado pelos números reais da forma , sendo f e g polinômios com coeficientes inteiros, é uma extensão algébrica de .

[editar] Extensão algébrica finita

Uma extensão algébrica finita de um corpo é um corpo que é contra-domínio de um homomorfismo injetivo onde o espaço vetorial associado ao corpo é de dimensão finita.

[editar] Construção

Um dos teoremas mais poderosos da álgebra é aquele que diz, essencialmente, que todo polinômio tem uma raiz. A forma precisa deste teorema é:

Seja E um corpo, p(x) um polinômio com coeficientes em E. Então existe uma extensão algébrica F de E tal que p(x) tem (pelo menos) uma raiz em F.

A forma de construir este corpo F, no caso de p(x) ser um polinômio irreducível, é construir o anel E[x] de polinômios, definir o sub-anel < p(x) > em E[x], usar a irreducibilidade de p(x) para provar que o anel quociente F = é um corpo e que a função φ(e) = e + < p(x) > é um homomorfismo injetivo, e provar que, em F, x + < p(x) > é uma raiz de p(x).