Matemática financeira
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A Matemática financeira utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à analise de dados financeiros em geral.
Índice |
[editar] Conceitos
Para tanto, utiliza uma série de conceitos que precisam ser dominados claramente.
- Montante: é a soma do capital (Principal) com o juro relativo ao período de aplicação. Sua fórmula é S=C+j ou S=C(1+in)
- Juro Composto: é aquele que, a partir do segundo período financeiro é calculado sobre o Montante do período anterior. O Juro é composto quando a cada período os juros são incorporados ao Principal e o novo Principal passa também a render juros. Fórmula: J=C[(1+i)n-1]
- Taxas Equivalentes: fazem com que o Capital produza o mesmo Montante, no final do mesmo prazo de aplicação.
- Valor Atual: chama-se valor atual de um compromisso futuro à determinada taxa de juros, ao capital que, se colocado a render juros àquela taxa, a partir da data de hoje, atingiria um montante igual ao valor nominal do compromisso, em sua data de vencimento.
- Desconto: é a diferença entre o valor nominal (valor indicado no título |valor no vencimento|) e o valor atual (valor do título antes do vencimento).
- Desconto Racional (por dentro): é o equivalente ao juro simples produzido pelo valor atual no período correspondente, à taxa fixada.
- Desconto Comercial (por fora): é o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal no período correspondente, à taxa fixada.
- Capitalização: é a remuneração de determinado capital durante um intervalo de tempo.
[editar] Conceitos básicos
Quando você vê em uma propaganda: "Compre uma televisão à vista por R$ 1.000,00 ou a prazo por 5 parcelas de R$ 260,00" Você, claro, responde: "A prazo, pois prefiro pagar parcelado, em poucas vezes por mês, e em apenas 5 meses eu acabo de pagar."
Mas você esqueceu de pensar em um "detalhe": 5 parcelas de R$ 260,00 dá o equivalente a R$ 1.300,00 que é 30% a mais do que a oferta á vista (R$ 1.000,00). São em situações como essas que você percebe como a Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens de consumo. Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.
Algumas definições são interessantes para incrementar os conhecimentos sobre Matemática Financeira.
[editar] Capital
Que originou a transação ou qualquer valor expresso em moeda que uma pessoa concorda em ceder a outro, temporariamente, geralmente cobrando juros. Aquele que cede é chamado de investidor e aquele que recebe é chamado tomador. Exemplo: “O investidor emprestou o capital ao tomador”
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira.Também conhecido como:Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
[editar] Período de tempo
Toda transação financeira deve necessariamente prever quando (datas de início e do término da operação) e por quanto tempo (duração da operação) se dará a cessão (o empréstimo ) do capital. Este prazo deve estar expresso em determinada unidade de tempo (que pode ser: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.).
Exemplo: “O investidor emprestou durante 3 anos o capital ao tomador”.
[editar] Montante
Montante é o valor emprestado ao tomador acrescido dos juros cobrados. Dessa forma, se é emprestado R$ 1.000,00 com juros de R$ 300,00, o montante é de R$1.300,00
Exemplo: “O investidor emprestou durante 3 anos o capital ao tomador, e recebeu um montante de 30% a mais do que emprestou”
[editar] Fórmulas matemáticas
Conforme observamos no início, a Matemática Financeira pode nos auxiliar no estudo financeiro, a partir desse ponto utilizaremos a seguinte notação:
- C = capital;
- J = juro;
- i = taxa de juro;
- M = montante.
- Exemplo: M = C + J
[editar] Juros
Juro é uma remuneração ou taxa cobrada sobre algum recurso emprestado. Ele pode ser cobrado de duas formas: simples e composta.
[editar] Juros simples
Os juros são sempre calculados sobre o valor inicial da transação, não importando o montante final e o período.
A formula para juros simples é:
Exemplo: Um homem tem uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. (ao mês) pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que o homem pagará serão:
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante (M), de 1160,00 no caso.
[editar] Juros compostos
Os juros de cada período de tempo é calculado sobre o saldo no início do período anterior. Ou seja: os juros de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
A formula para juros compostos é:
Exemplo: Um homem empresta R$1000 com juros de 10%, no outro mês deverá R$1100, e no próximo R$1210, R$1331 e etc. O juro é calculado sobre o montante principal mais os juros do período anterior.
[editar] Taxa de juros
Taxa de juro é o valor do juro expresso como porcentagem de determinado capital. A taxa de juro pode ser representada de duas formas: Forma Percentual: 5%; 1,25%; 0,04%. Exemplo: Dada uma taxa de “10%” ao ano, então a aplicação de $ 100,00, por um ano, gera um juro de $10,00. Forma Unitária: 0,05; 0,0125; 0,0004 Exemplo: Dada uma taxa de “0,10” ao ano, então a aplicação de $ 100,00, por um ano, gera um juro de $10,00.
[editar] Problema Clássico de financiamento
O problema clássico de financiamento possui as 6 variáveis listadas abaixo
| Sigla em Inglês | Sigla em Português | Extenso em Inglês | Extenso em Português |
| pv | vp | present value | valor presente |
| fv | vf | future value | valor futuro |
| nper | nper | number of periods | número de períodos |
| pmt | pgto | payment | pagamento (valor da prestação) |
| rate | taxa | interest rate | taxa de juros |
| type | tipo | 0 (default), se postecipada, 1 se antecipada | 0 (default), se postecipada, 1 se antecipada |
A taxa de juros (rate) com que trabalhamos é relacionada a um período, em geral mensal ou anual. Dada a taxa (rate), pode-se calcular a variável auxiliar k como mostrado na fórmula abaixo. Quando a taxa é zero (sem juros), k = 1
O problema postecipado é o mais comum. Para esse problema, vale a figura ao lado.
Para calcular vp, basta observar que ele é a soma de cada parcela de valor pmt trazida a uma taxa de juros rate pelos períodos 1, 2, ..., nper:
Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, chega-se a:
