Гистограмма (статистика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гистогра́мма в математической статистике - это функция, приближающая плотность вероятности некоторого распределения, построенная на основе выборки из него.

Содержание

1 Определение
2 Замечание
3 Гистограмма абсолютно непрерывного распределения
- 3.1 Замечание
4 См. также

[править] Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ - выборка из некоторого распределения. Определим разбиение числовой прямой $-\infty < a_0<a_1< \cdots <a_{k-1}<a_k<\infty$ . Пусть

$n_i = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{X_j \in (a_{i-1},a_i]\}},\; \quad i=1,\ldots,k$

- число элементов выборки, попавших в $i$ -й интервал. Тогда кусочно-постоянная функция $\tilde{h}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , имеющая вид:

$\tilde{h}(x) = n_i,\quad x \in (a_{i-1},a_i],\; i=1,\ldots, k$ ,

называется гистограммой выборки $X_1,\ldots,X_n$ . Функция $h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , задаваемая равенством

$h(x) = \frac{n_i}{n \, \Delta a_i} \quad x \in (a_{i-1},a_i],\; i=1,\ldots, k$ ,

где $\Delta a_i \equiv a_i - a_{i-1},\; i=1,\ldots, k$ , - называется нормализованной гистограммой.

[править] Замечание

Нормализованная гистограмма является плотностью вероятности. В частности,

$h(x) \ge 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}$ .
$\int_{-\infty}^{\infty} h(x)\, dx = 1$ .

[править] Гистограмма абсолютно непрерывного распределения

Пусть распределение случайных величин $X i$ абсолютно непрерывно, и задаётся плотностью вероятности $f (x)$ . Тогда

$\forall x \in (a_{i-1},a_i],\quad h(x) \, \Delta a_i \equiv \frac{n_i}{n} \to \mathbb{P}(X \in (a_{i-1},a_i]) \equiv \int\limits_{a_{i-1}}^{a_i} f(x)\, dx,\quad i = 1,\ldots, k$ по вероятности при $n \to \infty$ .

[править] Замечание

Таким образом площадь фигуры под нормализованной гистограмой, ограниченной интервалом $(a i - 1, a i]$ , приближается к вероятности принятия значений внутри этого интервала любой из случайных величин $X j$ . Однако, нормализованная гистограмма не сходится поточечно к теоретической плотности распределения этих случайных величин.