Случайная величина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Случайная величина — одно из основных понятий теории вероятностей. Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.

Содержание

1 Введение
2 Определение
3 Простейшие обобщения
4 См. также

[править] Введение

Наряду со случайными событиями, как фактами в схеме испытаний, характеризующими ее качественно, результаты опытов можно описать количественно. Это и ведет к понятию случайной величины в теории вероятностей. Фактически, всегда результаты опытов со схемой можно представить количественно с помощью одной или нескольких числовых величин. Так, в конечных схемах описаний вместо самих элементарных исходов можно рассматривать их номиналы (идентификаторы). Например, при бросании монеты «решка» — это 0, а «герб» — это 1; при бросании игральной кости результаты — суть номера граней от 1 до 6 и т. п.

В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; рост призывников при наборе в армию; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям. С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно. Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определенными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случаными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.

На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная). Перечень возможных значений (спектр) каждой одномерной случайной величины может быть как дискретным (конечным/бесконечным), так и непрерывным, а также комбинированным — в зависимости от характера распределения вероятностной массы материальных точек схем испытаний по значениям случайной величины.

[править] Определение

Пусть $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Функция $X:\Omega \to \mathbb{R}$ , измеримая относительно $\mathcal{F}$ и борелевской σ-алгебры на $\mathbb{R}$ , называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

[править] Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором. Например,

Измеримая функция $X:\Omega \to \mathbb{R}^n$ называется $n$ -мерным случайным вектором (относительно борелевской σ-алгебры на $\mathbb{R}^n$ ).
Измеримая функция $X:\Omega \to \mathbb{C}^n$ называется $n$ -мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской σ-алгебры).