Золотое сечение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, φ) — деление отрезка на части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как сумма к большей. Например, деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. |АВ| / |ВС| = |АС| / |АВ|).

Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой φ (встречается также обозначение $τ$ ) и она равна:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484\dots$

В дошедшей до нас античной литературе золотое сечение впервые встречается в «Началах» Евклида (3 в. до н.э.). Термин «золотое сечение» был введён гораздо позднее Леонардо да Винчи, который использовал золотое сечение как пропорции «идеального человеческого тела». Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных, следуя Леонардо да Винчи, многие люди «стремятся найти» золотое сечение во всём что между полутора и двумя.

Содержание

1 Математические свойства
- 1.1 Геометрическое построение
2 Золотое сечение и гармония
3 Золотое сечение в искусстве
4 См. также
5 Ссылки

[править] Математические свойства

Золотое сечение в пятиконечной звезде

$\phi\;$ — иррациональное алгебраическое число, удовлетворяющее равенствам

$\phi^2 = \phi + 1,\ \phi - 1 = \frac{1}{\phi}, \ \phi ^ 3 = \frac{\phi + 1}{\phi - 1}$

$φ$ представляется цепной дробью

$\phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1+\,\cdots}}},$

для которой подходящими дробями являются отношения последовательных чисел Фибоначчи $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ . Таким образом, $\phi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .

В правильной пятиконечной звезде каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, также как красного к синему, также как зелёного к фиолетовому, равны $φ$ ).

Вот ещё одно представление:

Построение золотого сечения

$\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$

[править] Геометрическое построение

Золотое сечение отрезка $A B$ можно построить следующим образом: в точке $B$ восстанавливается перпендикуляр к $A B$ , откладывают на нём отрезок $B E$ , равный половине $A B$ , на отрезке $A E$ откладывают отрезок $E D$ , равный $E B$ , и наконец, на отрезке $A B$ откладывают отрезок $A C$ , равный $A D$ . Тогда

$\phi=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|CB|}.$

[править] Золотое сечение и гармония

Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. Швейцарский архитектор Ле Корбюзье «нашёл», что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого сечения. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

Ко всем этим утверждениям следует относиться с осторожностью, поскольку во многих случаях это может оказаться результатом подгонки или совпадения.

[править] Золотое сечение в искусстве

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения».

Размеры холста для картин художники нередко выбирали в соответстии с этой пропорцией.

Так, известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм Броненосец Потёмкин по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения.

Золотое сечение и зрительные центры

В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный. Другим примером использования правила «Золотого сечения» в киноискусстве — расположение основных компонентов кадра в особых точках — «зрительных центрах». Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.

Вырезав квадрат со стороной а из прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же свойством

В ХХ веке при обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов - например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение, как оптимальное, и считает его пропорции «слишком вытянутыми».