Измеримая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

Содержание

1 Определение
2 Замечание
3 Вещественнозначные измеримые функции
4 Примеры

[править] Определение

Пусть $(X,\mathcal{F})$ и $(Y,\mathcal{G})$ суть два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция $f: X\to Y$ называется $\mathcal{F} / \mathcal{G}$ -измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из $\mathcal{G}$ принадлежит $\mathcal{F}$ , т.е.

$\forall B \in \mathcal{G},\; f^{-1}(B) \in \mathcal{F},$

где $f - 1 (B)$ означает полный прообраз множества $B$ .

[править] Замечание

Если $\,X$ и $\,Y$ — топологические пространства, и алгебры $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.

[править] Вещественнозначные измеримые функции

Пусть дана функция $f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

Функция $f$ измерима, если

$\forall c\in \mathbb{R},\; \{x\in X \mid f(x) \le c\} \in \mathcal{F}$ .

Функция $f$ измерима, если

$\forall a,b\in \mathbb{R}$ , таких что $a \le b$ , имеем $\{x\in X \mid f(x) \in |a,b| \} \in \mathcal{F}$ ,

где $| a, b |$ обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

[править] Примеры

Пусть $(X,\mathcal{F}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ и $(Y,\mathcal{G}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ - две копии вещественной прямой вместе с ее борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция $f: (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ называется борелевской.
Измеримая функция $f:(\Omega, \mathcal{F}) \to (Y,\mathcal{G})$ , где $Ω$ - множество элементарных исходов, а $\mathcal{F}$ - σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом.