Квантовый эффект Холла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ква́нтовый эффе́кт Хо́лла — эффект квантования Холловского сопротивления двумерного электронного газа в сильных магнитных полях и при низких температурах.

Содержание

1 Введение
2 Предпосылки
3 Дробный квантовый эффект Холла
4 Ссылки
- 4.1 Специальная литература
5 См. также

[править] Введение

Зависимости холловского сопротивления и удельного сопротивления от магнитного поля при постоянной концентрации носителей. На зависимости холловского сопротивления наблюдаются плато.

Квантовый эффект Холла (КЭХ) был открыт Клаусом фон Клитцингом в 1980 году, за что впоследствии в 1985 году он получил Нобелевскую премию. Сам эффект состоит в том, что на зависимости поперечного сопротивления (отношения возникающего поперечного напряжения к протекающему току) от магнитного поля (или от концентрации при фиксированном поле) наблюдаются плато, причем значения сопротивления на этих плато равно R_к = h/e², деленное на целые числа (называемых фактором заполнения) (рис. 1). Фон Клитцинг обнаружил так называемый нормальный (или целочисленный) квантовый эффект Холла. В 1982 году Цуи и Штёрмер открыли дробный квантовый эффект Холла (фактор заполнения при этом становится меньше единицы).

Уже первая работа по квантовому эффекту Холла, названная «Реализация стандарта сопротивления, основанного на фундаментальных константах» показала, что возможно его применение, подобное эффекту Джозефсона. В настоящее время известно, что значения квантованного сопротивления Холла не зависят от качества образца, его материала и т. п. Поэтому, начиная с 1990 года, калибровки сопротивлений основаны на квантовом эффекте Холла с фиксированным значением R_к = 25812,807 Ом.

[править] Предпосылки

[править] Двумерный электронный газ

Создание двумерного электронного газа (2DEG) — важнейшая предпосылка для наблюдения КЭХ. Электроны образуют 2D электронный газ в том случае, когда их движение в одной плоскости (плоскости xy) является свободным, а в направлении оси z ограничено стенками узкой потенциальной ямы. Фундаментальные свойства квантового эффекта Холла являются следствием того, что энергетический спектр электронной системы, с которой проводится эксперимент, состоит из дискретных энергетических уровней.

В объемном полупроводнике энергетический спектр электронов непрерывен:

$E=\frac{\hbar^2}{2m^*}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)$

Когда электронный газ находится в узкой потенциальной яме закон дисперсии имеет вид:

$E={\frac{\hbar^2}{2m^*}}(k_x^2+k_y^2)+E_n$ , где n = 0, 1, 2…

Видно, что каждому дискретному уровню E_n соответствует набор возможных состояний с разными импульсами p_x и p_y. Поэтому обычно говорят не об уровне, а о двумерной подзоне размерного квантования с номером n. По устоявшейся терминологии газ называют двумерным, если заселена только низшая подзона (при низких температурах и достаточно низких концентрациях). Когда электроны принадлежат нескольким подзонам, газ называют квазидвумерным.

[править] Энергетический спектр носителей заряда в магнитном поле

На классические заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности с угловой скоростью Ω = eH/m*c называемой циклотронной частотой (система единиц СГС). Согласно квантовой теории частицы совершающие периодическое движение обладают только дискретными значениями энергии, поэтому у заряженных частиц в магнитном поле появляются уровни энергии, называемые уровнями Ландау. Энергия k-го уровня определяется выражением

$E_k=(k+\frac{1}{2})\hbar\Omega$

Следовательно, влияние магнитного поля сводится к тому, что вместо кинетической энергии в законе дисперсии для двумерного электронного газа нужно писать E_k. Таким образом, двумерная система становится полностью квантованной (нульмерной) и её энергетический спектр представляет собой набор полностью дискретных энергетических уровней E_{n, k} = E_n + E_k.

В сильном магнитном поле волновой пакет электрона имеет характерный размер $l_B=\sqrt{{\frac{\hbar c}{eB}}}$ -так называемая магнитная длина, следовательно, характерная площадь, приходящаяся на 2 электрона с разными проекциями спина равна $s_0 = \pi l_B^2$ . Поэтому кратность вырождения каждого уровня Ландау (максимальная плотность состояний на любом из уровней Ландау при заданном магнитном поле) составляет

$N_H=\frac{S}{2 s_0}=\frac{S eB}{\hbar c}=\frac{S}{2\pi l_B^2}=\frac{BS}{\Phi_0}$ , Ф₀ — квант магнитного потока.

Можно наглядно представить себе это как наиболее плотную упаковку циклотронных орбит на единицу площади 2D-слоя, при которой на элементарный квант магнитного потока приходится одно электронное состояние.

Вспомнив, что двумерная плотность состояний при отсутствии магнитного поля D₀ = m/πħ², видим, что плотность состояний на уровне Ландау N_H равна произведению D₀ и ħω_с. Другими словами, на каждый уровень Ландау, созданный магнитным полем, «конденсируются» состояния континуума из интервала ħω_с.

Для того чтобы рассчитать концентрацию электронов на уровнях Ландау, следует иметь в виду, что вероятность заполнения электронами любых энергетических уровней в полупроводнике (в том числе и уровней Ландау) определяется положением уровня Ферми E_F. Если уровень Ферми попадает в щель между уровнями Ландау, то есть заполнено N нижних уровней Ландау, то концентрация электронов в 2D-слое на единицу площади n_s = NN_H В общем случае частичное заполнение одного из уровней Ландау характеризуется так называемым фактором заполнения $i=\frac{n_s}{N_H}=\frac{n_{s}h}{eB}$ , который может принимать как целые, так и дробные значения.

[править] Эффект Холла

Явление, открытое Холлом в 1879 году, состоит в том, что в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля. Возникающее в проводнике электрическое поле, называемое полем Холла, вызвано действием силы Лоренца F_L = eBv, заставляющей электроны отклоняться в направлении, перпендикулярном скорости v. В результате это поле E_H уравновешивает силу Лоренца, и между боковыми гранями образца возникнет разность потенциалов V_H, которая поддается измерению.

Ток через образец равен I = nevS, где S — площадь поперечного сечения проводника, S = bd, b — ширина, d — толщина.

Условие равновесия силы Лоренца и силы, вызванной холловским полем eE_H = evB = eV_H/b. Отсюда следует, что V_H = bvB = IvB/nevd = IB/end = IR_H, где R_H называется холловским сопротивлением. В двумерных системах R_H = B/en_s, где n_s — поверхностная концентрация.

Важно отметить, что R_H — это отношение возникающей поперечной разности потенциалов к продольному току, R_H = R_xy = V_y/I_x. При этом продольное сопротивление, R_xx = V_x/I_x, слабо зависит от индукции магнитного поля, оставаясь по величине близким к своему значению при B = 0.

[править] Целочисленный квантовый эффект Холла

[править] Описание эффекта

В области низких температур (Т ~ 1 K) и в сильных магнитных полях (B > 1 Тл) картина существенно меняется. Зависимость измеряемого поперечного холловского сопротивления 2D-системы электронов от индукции магнитного поля, R_H(B), или поверхностной концентрации носителей заряда, R_H(n_s), становится не линейной, как в обычном случае, а имеет ряд плоских ступенек (плато), причем величина R_H на этих ступеньках с высокой точностью равна комбинации фундаментальных физических констант, деленной на целое число i:

$R_H=\frac{h}{ie^2}$

Плато R_H сопровождаются глубокими провалами продольного сопротивления R_xx, и при очень низких температурах имеются конечные интервалы по B или n_s, где оно равно нулю с высокой экспериментальной точностью. При Т = 0 ток в рассматриваемых образцах может течь без диссипации (рассеяния). Справедливость выражения для R_H доказана экспериментально с относительной точностью порядка 10^-7, а наблюдавшиеся значения продольного сопротивления R_xx оказываются на много порядков меньше, чем при B = 0, а также меньше, чем сопротивление любого несверхпроводящего металла.

Прецизионные измерения также показали, что на точности квантования R_H не сказываются такие существенные параметры эксперимента, как размеры образцов, влияние границ и важное в обычном эффекте Холла закорачивание холловского напряжения омическими контактами, а также степень совершенства структур, то есть наличие большого количества примесей и дефектов, тип материала, в котором находится 2D-электронный газ, температура и сила измерительного тока. Экспериментальная точность квантования так высока, что встал вопрос о метрологических применениях КЭХ: проверке формул квантовой электродинамики с помощью прецизионного определения постоянной тонкой структуры или создания нового эталона сопротивления.

[править] Экспериментальная установка

Геометрия измерения квантового эффекта Холла. R_H=V₂/I

Для наблюдения эффекта гетероструктуру со сформированным двумерным электронным газом помещают в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости электронного газа. При пропускании тока через образец измеряют ток, а также возникающее напряжение вдоль и поперек образца.

[править] Качественная интерпретация целочисленного квантового эффекта Холла

Для идеального электронного газа формулу для R_H можно получить очень просто. Действительно, в магнитном поле спектр идеального 2D-электронного газа разбивается на совокупность равноудаленных δ-уровней Ландау, каждый из которых вырожден с кратностью N_H = eB/h. Если уровень Ферми попадает в щель между уровнями Ландау, то заполнено целое число i нижних уровней Ландау и концентрация электронов в 2D-системе

$n_s=iN_H=i\frac{eB}{h}$

Подставив это в выражение для обычного эффекта Холла, получим нужный результат. Однако этот формальный вывод не объясняет КЭХ, а скорее подчеркивает трудности, связанные с его интерпретацией, поскольку в этом случае квантование возникает в единственной точке по концентрации или магнитному полю. Согласно же эксперименту, значения холловского сопротивления сохраняются в конечном интервале изменения независимых переменных n_s и B.

Локализация состояний спектра и осцилляции компонент проводимости 2D электронного газа в сильном магнитном поле. Локализованные состояния закрашены зелёным.

Качественная интерпретация КЭХ может быть основана на перколяционной модели проводимости, в которой используются понятия локализованных и подвижных состояний реального двумерного электронного газа. Для простоты рассмотрим случай фиксированного B и заданного спектра уровней Ландау со щелью подвижности 2Δ (см. рис.). Локализованные состояния по определению тока не несут, и вклад в продольную проводимость дают только подвижные состояния. Возможны две ситуации:

Уровень Ферми находится в щели подвижности между серединами соседних уровней Ландау. В этом случае все подвижные состояния расположены ниже уровня Ферми, концентрация носителей в областях, занимаемых подвижными состояниями, равна максимально возможной N_H и, следовательно, каждый из i заполненных уровней Ландау создает холловское сопротивление R_H = h/e², а все i уровней вместе R_H = h/ie². Эта ситуация соответствует бездиссипативному (R_xx = 0) протеканию тока по областям, где принцип Паули запрещает диссипативные переходы.

Уровень Ферми лежит в области подвижных состояний вблизи пика i-го уровня Ландау. Протекание по подвижным состояниям происходит в пояске шириной kT (k — постоянная Больцмана) вблизи уровня Ферми и сопровождается максимальной диссипацией. Концентрация носителей в области подвижных состояний на i-м уровне изменяется от 0 до N_H по мере прохождения уровнем Ферми области подвижных состояний. Этому соответствует переходный участок между плато холловского сопротивления с соседними значениями i и i + 1.

Такое объяснение магнетотранспорта качественно отвечает на вопросы о происхождении холловских плато и об обращении R_xx в нуль, однако остается неясным, почему в области плато R_H квантуется с очень высокой точностью?

Объяснение этого должно основываться не на приближенных модельных расчетах, а на фундаментальных физических законах. Такая аргументация впервые предложена Лафлином и основана на так называемой калибровочной инвариантности, то есть свойстве симметрии, приводящем, в частности, к тому, что добавление кванта магнитного потока не изменяет энергетический спектр носителей, а приводит лишь к возбуждению или девозбуждению исходной системы. Он рассматривал мысленный эксперимент, когда лента двумерного электронного слоя согнута в петлю. Магнитное поле пронизывает ее, будучи везде направленным по нормали к поверхности, а между двумя краями кольца приложено напряжение V_H. При отсутствии диссипации энергия сохраняется, и можно записать закон индукции Фарадея в форме, которая связывает ток в петле I с адиабатической производной от полной энергии системы E по магнитному потоку Ф через петлю:

$I=\frac{dE}{d\Phi}$

Если поток Ф изменится на квант магнитного потока Ф₀ = h/e, то энергетический спектр должен остаться неизменным в силу калибровочной инвариантности. При этом все носители смещаются на соседние состояния так, что один носитель на каждом уровне Ландау выходит за один край кольца и другой входит с другого края, то есть эффективно через систему переносится i носителей, по одному с каждого из заполненных уровней Ландау. Если уровень Ферми расположен в щели подвижности, то диссипация в системе отсутствует и полное изменение энергии соответствует переходу i электронов от одного края кольца к другому ΔE = ieV_H. Отсюда можно найти соотношение между бездиссипативным холловским током и холловским напряжением

$I=\frac{{\Delta}E}{{\Delta}{\Phi}}=\frac{{\Delta}E}{{\Phi}_0}=i\frac{e^2}{h}V_H$ , откуда и получаются значения квантованного холловского сопротивления.

В этой интерпретации основная причина квантования холловского сопротивления — квантование магнитного потока на элементарные кванты Ф₀ = h/e и электрического заряда на элементарные заряды е. Убедительность доводов, основанных на данном мысленном эксперименте, связана с тем, что они исходят из самых общих соображений — калибровочной инвариантности и в них не используются макроскопические модели.

[править] Влияние неоднородностей

До этого момента мы не учитывали неоднородности поперечного электрического поля внутри потенциальной ямы, в которой находится двумерный электронный газ. В реальных структурах это поле всегда неоднородно. Причины здесь могут быть самыми разными: неоднородная толщина слоя окисла в МОП-структуре, неоднородное распределение заряда в этом окисле, наличие заряженных ионов на границе раздела и т. д. Все это приводит к тому, что в одних точках 2D-слоя электростатическая энергия электронов оказывается больше, а в других — меньше. Если мы отложим в каждой точке слоя величину этой электростатической энергии или потенциал этой точки, то получим не плоскость, как в идеальном случае, а некоторый случайный энергетический рельеф E(x, y) или случайный потенциал двумерного слоя. Каждому электронному состоянию отвечает своя эквипотенциаль. Впадины рельефа являются областями неподвижных (локализованных) электронных состояний, вершины — областями дырочных локализованных состояний, поскольку эквипотенциали в этих областях замкнуты (финитны). Инфинитные эквипотенциали, простирающиеся на всю длину образца, отвечают подвижным (делокализованным) состояниям.

Наличие случайного потенциала в реальных электронных системах влияет на их энергетический спектр. Так, если в идеальном 2D-электронном газе при наличии сильного магнитного поля плотность состояний D(E) является системой δ-пиков, а каждый из уровней вырожден с кратностью N_H и характеризуется фактором заполнения i, то в реальной ситуации случайный потенциал снимает вырождение и уширяет уровни Ландау в энергетические зоны. При этом распределение плотности состояний по энергиям D(E) из-за случайного характера флуктуаций потенциала также подчиняется гауссовскому закону распределения случайных величин $D(E) \sim e^{-\frac{(E - E_N)^2}{\Gamma_N^2}}$ , в котором характерный масштаб неоднородностей Г_N определяется полушириной гауссовского распределения, а величина E_N представляет собой высоту пика уровня Ландау. Энергетическое положение локализованных состояний соответствует экспоненциальным хвостам уширенных уровней Ландау, а подвижные состояния расположены в центрах пиков. Области локализованных состояний называют щелями подвижности, а их границы E_T с областями подвижных состояний — краями или порогами подвижности. При достаточно низких температурах (T ≈ 1 К) проводить ток могут только подвижные состояния.

[править] О сопротивлении, проводимости и потенциале в условиях квантования холловского сопротивления

Рассмотрим также некоторые интересные и не совсем очевидные свойства двумерного электронного газа в условиях квантования его холловского сопротивления. Казалось бы, что в условиях, когда удельное сопротивление текущему в канале току ρ_xx обращается в нуль, проводимость должна быть бесконечно велика, ведь мы привыкли, что обычно σ и ρ обратно пропорциональны друг другу. Но в данном случае это не так. Равенство нулю ρ_xx при конечном значении ρ_xy означает, что если мы пропускаем ток через двумерный электронный газ, то возникает электрическое поле, перпендикулярное току, то есть направленное по оси у, а поле вдоль тока равно нулю. Чтобы определить в этом случае проводимость, надо величину тока вдоль электрического поля разделить на напряженность поля. Электрическое поле у нас направлено по оси у, а ток вдоль этой оси не течет. Поэтому σ_yy = 0, то есть из условия ρ_xx=ρ_yy=0 следует, что σ_xx=σ_yy=0.

Эквипотенциали в образце с двумя контактами в условиях квантого эффекта Холла.

Математически ρ_xx, ρ_xy, ρ_yx, ρ_yy можно представить как компоненты матрицы удельного сопротивления, а σ_xx, σ_xy, σ_yx, σ_yy — как компоненты матрицы проводимости. Переход от одной матрицы к другой осуществляется с помощью операции обращения

$\begin{pmatrix} {\sigma}_{xx} & {\sigma}_{xy} \\ {\sigma}_{yx} & {\sigma}_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\rho}_{xx} & {\rho}_{xy} \\ {\rho}_{yx} & {\rho}_{yy} \end{pmatrix}^{-1}$

Из этого равенства, а также из равенства ρ_xx = ρ_yy и σ_xx = σ_yy, очевидно, справедливых в силу симметрии, сразу следуют соотношения:

$\sigma_{xx} = \frac{\rho_{xx}}{\rho_{xx}^2+\rho_{xy}^2}$ ; $\sigma_{xy} = - \frac{\rho_{xy}}{\rho_{xx}^2+\rho_{xy}^2}$

При ρ_xx → 0 получаем σ_xx = ρ_xx/ρ_xy, σ_xy = — 1/ρ_xy.

Определим теперь полное сопротивление нашего прибора протекающему через него электрическому току или, другими словами, падение напряжения между контактами истока и стока. Первый ответ, который сразу приходит в голову — напряжение равно нулю, так как ρ_xx = 0, неверен.

Чтобы это доказать, рассмотрим, как распределен потенциал в канале при протекании там тока. Вдали от контактов истока и стока линии равного потенциала направлены вдоль тока, то есть вдоль оси х. Это следует из равенства ρ_xx = 0. Но вблизи контакта ситуация существенно изменяется. Все точки контакта имеют один и тот же потенциал. Поэтому эквипотенциали не могут пересечь границу контакта, и они вблизи контакта изогнутся, как это показано на рисунке. Ток же течет через контакт, так что вблизи контакта он уже не будет течь вдоль эквипотенциален и здесь уже ρ_xx не может быть равно нулю.

Кроме того факта, что вблизи истока и стока ρ_xx ≠ 0 из рис. можно определить и напряжение между истоком и стоком. Для этого надо сосчитать количество эквипотенциалей, которые мы пересечем, переходя от истока к стоку по любому пути внутри канала. Оно точно равно количеству эквипотенциалей, пересекаемых при переходе с одного берега канала на другой в средней части канала. Отсюда следует, что и напряжение между истоком и стоком равно напряжению между берегами канала, то есть холловскому напряжению U_H, а сопротивление между ними равно R_H. Повторив это рассуждение для любой другой пары контактов к двумерному слою, мы получим тот же результат — сопротивление, измеренное между любой парой контактов к двумерному слою, равно R_H = h/ie² независимо от размеров контактов, их расположения и расстояния между ними. Напомним, однако, что это утверждение справедливо лишь при ρ_xx = 0.

[править] Дробный квантовый эффект Холла

В 1982 году Даниэль Цуи (Daniel Tsui) и Хорст Штёрмер (Horst Stormer) заметили, что плато в Холловском сопротивлении наблюдаются не только при целых значениях n, но и в существенно более сильных магнитных полях, при n=1/3. В дальнейшем были обнаружены плато электрического сопротивления и при других дробных значениях n, например при n=2/5, 2/7…

Природа дробного квантового эффекта Холла была объяснена Р. Лаффлином в 1983 году. В 1998 году Цуи, Штёрмер и Лаффлин получили Нобелевскую премию по физике за открытие и объяснение этого явления.

[править] Ссылки

Квантовый эффект Холла в двумерных системах — научно-популярная статья в электронном журнале МИФ, N2, (1998—1999).

[править] Специальная литература

Целочисленный квантовый эффект Холла

Klitzing K. V., Dorda G., Pepper M. New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance // Phys. Rev. Lett. — 1980. — Vol. 45. — P. 494. doi:10.1103/PhysRevLett.45.494
Laughlin R. B. Quantized Hall conductivity in two dimensions // Phys. Rev. B — 1981. — Vol. 23 — P. 5632. doi:10.1103/PhysRevB.23.5632
Halperin B. I. Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential // Phys. Rev. B — 1982. — Vol. 25 — P. 2185. doi:10.1103/PhysRevB.25.2185

Дробный квантовый эффект Холла

Tsui D. C., Stormer H. L., Gossard A. C. Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme Quantum Limit // Phys. Rev. Lett. — 1982. — Vol. 48 — P. 1559. doi:10.1103/PhysRevLett.48.1559

[править] См. также

Эффект Холла

Категории: Электрические и магнитные явления | Квантовые явления | Направления исследований в физике