Компланарность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Три вектора называются компланарными, если они лежат на параллельных плоскостях или на одной плоскости. Компланарность - тернарное математическое отношение.

Содержание

1 Обозначения
2 Свойства компланарности
3 Другие объекты
4 См. также

[править] Обозначения

Единого обозначения компланарность не имеет.

[править] Свойства компланарности

Пусть $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ — векторы пространства $\mathbb{R}^n$ . Тогда верны следующие утверждения:

Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
Смешанное произведение компланарных векторов $\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right) = 0$ . Это — критерий компланарности трёх векторов.
Компланарные векторы - линейно зависимы. Это - тоже критерий компланарности.
Существуют действительные числа $\;\lambda_1, \lambda_2$ такие, что $\vec{a} = \lambda_1\vec{b}+\lambda_2\vec{c}$ для компланарных $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ , за исключением случаев $\vec{b}=\vec{0}$ или $\vec{c}=\vec{0}$ . Это - переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ образуют базис. Т.е. любой вектор $\vec{d}$ можно представить в виде: $\vec{d}=x_1\vec{a}+x_2\vec{b}+x_3\vec{c}$ . Тогда $\;\{x_1, x_2, x_3\}$ будут координатами $\vec{d}$ в данном базисе.

[править] Другие объекты

Выше описанные критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного линейного пространства).

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), не компланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые - нет.