Копула

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Копула — это многомерная функция распределения, определенная на n-мерном единичном кубе [0, 1]ⁿ, такая что каждое ее маргинальное распределение равномерно на интервале [0, 1].

Теорема Склара заключается в следующем. Для произвольной двумерной функции распределения H(x, y) с одномерными маргинальными функциями распредлеения F(x) = H(x, ∞) и G(y) = H(∞, y) существует копула, такая что

$H(x,y)=C(F(x),G(y))\,$

(где мы отождествляем распределение C с его функцией распределения). Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

$C(u,0)=C(0,v)=0\,$

$C(u,1)=u; \qquad C(1,v)=v.$

[править] Границы Фреше для копулы

Минимальная копула: Это нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

$M(x,y) = \max(0,x+y-1).\,$

Максимальная копула: Это верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

$W(x,y) = \min(x,y).\,$

[править] Архимедовы копулы

Одна частная простая форма копулы:

$H(x,y) = \Psi^{-1}(\Psi(F(x))+\Psi(G(y)))\,$

где $ψ$ называется функция—генератор. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция—генератор, которая удовлетворяет приведенным ниже свойствам служит основой для правильной копулы:

$\Psi(1) = 0;\qquad \lim_{x \to 0}\Psi(x) = \infty;\qquad \Psi'(x) < 0;\qquad \Psi''(x) > 0.$

Копула—произведение: также называется независимой копулой, эта копула не имеет зависимостей между переменными, ее функция плотности всегда единица.

$\Psi(x) = -\ln(x); \qquad H(x,y) = xy.$

Копула Клейтона (Clayton):

$\Psi(x) = x^{\theta} -1;\qquad \theta \le 0; \qquad H(x,y) = (F(x)^\theta+G(y)^\theta-1)^{1/\theta}.$

Для $θ = 0$ в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы. Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространен для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

[править] Литература

David G. Clayton (1978), "A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence", Biometrika 65, 141-151. JSTOR (subscription)
Frees, E.W., Valdez, E.A. (1998), "Understanding Relationships Using Copulas", North American Actuarial Journal 2, 1-25.
Roger B. Nelsen (1999), An Introduction to Copulas. ISBN 0-387-98623-5.
S. Rachev, C. Menn, F. Fabozzi (2005), Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. ISBN 0471718866.
A. Sklar (1959), "Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges", Publications de l'Institut de Statistique de L'Université de Paris 8, 229-231.