Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

[править] Условие устойчивости

Передаточная функция динамической системы $\ T(s)$ может быть представлена в виде дроби

$\ T(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$ .

Устойчивость $\ T(s)$ достигается тогда, когда все её полюса находятся в левой полуплоскости на плоскости корней. В правой полуплоскости их быть не должно. Если $\ T(s)$ получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией $\ F(s) = \frac{A(s)}{B(s)}$ , тогда нули передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции $\ 1 + F(s)$ Выражение $\ 1 + F(s) = 0$ называется характеристическим уравнением системы.

[править] Принцип аргумента Коши

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур $\Gamma_s\$ охватывающий на $\ s$ -плоскости некоторое число неаналитических точек может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость $\ F(s)$ ) при помощи функции $\ F(s)$ таким образом, что получившийся контур $\Gamma_{F(s)}\$ будет охватывать центр $\ F(S)$ -плоскости $\ n$ раз, причём $\ n = z - p$ , где $\ z$ — число нулей, а $\ p$ — число полюсов функции $\ F(s)$ . Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура $\Gamma_s\$ , а отрицательным — противоположное ему.

[править] Формулировка критерия

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

участок, идущий вверх по оси $\ j\omega\$ , от $0 - j\infty$ до $0 + j\infty$ .
полуокружность радиусом $r \to \infty$ , начинающаяся в точке $0 + j\infty$ и достигающая конца в точке $0 - j\infty$ по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы $\ F(s)$ , в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции $\ F(s)$ минус количество полюсов $\ F(s)$ в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку $\ -1 + j0$ , получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции $\ 1+F(s)$ . Заметив, что функция $\ 1+F(s)$ имеет такие же полюса, что и функция $\ F(s)$ , а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:

Пусть $\Gamma_s\$ — замкнутый контур в комплексной плоскости, $\ p$ — число полюсов $\ F(s)$ , охваченных контуром $\Gamma_s\$ , а $\ z$ — число нулей $\ F(s)$ , охваченных $\Gamma_s\$ — то есть число полюсов $\ T(s)$ охваченных $\Gamma_s\$ . Получившийся контур в $\ F(s)$ -плоскости, $\Gamma_{F(s)}\$ должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку $\ -1 + j0$ $\ n$ раз, где $\ n = z - p$ .

Следствия критерия Найквиста-Михайлова:

Если разомкнутая система с передаточной функцией $\ F(s)$ устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку −1.
Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов $\ F(s)$ вокруг точки −1 должной быть равно числу полюсов $\ F(s)$ в правой полупоскости.
Количество дополнительных охватов (больше, чем $\ n + p$ ) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.