Критерий устойчивости Рауса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Критерий устойчивости Рауса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса-Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести ненаглядность метода, по нему сложно судить о степени устойчивости, о её запасах.

[править] Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть $W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)}$ — передаточная функция системы, а $\ U(s) = 0$ — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином $\ U(s)$ в виде

$\ U(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + ... + a_n$

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которой записываются коэффициенты характеристического полинома таким образом, что:

в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания
во второй строке — с нечётными
остальные элементы таблицы определяется по формуле: $\ c_{k,i} = c_{k+1,i-2} - ri \cdot c_{k+1,i-1}$ , где $ri = \frac{c_{1,i-2}} {c_{1,i-1}}, i \ge 3$ — номер строки, $\ k$ — номер столбца
число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения

Таблица Рауса:

$\ ri$	$\Downarrow i \Longrightarrow k$	1	2	3	4
-	1	$\ c_{1,1} = a_0$	$\ c_{2,1} = a_2$	$\ c_{3,1} = a_4$	...
-	2	$\ c_{1,2} = a_1$	$\ c_{2,2} = a_3$	$\ c_{3,2} = a_5$	...
$r_3 = \frac{c_{1,1}} {c_{1,2}}$	3	$c_{1,3} = c_{2,1} - r_3 \cdot c_{2,2}$	$c_{2,3} = c_{3,1} - r_3 \cdot c_{3,2}$	$c_{3,3} = c_{4,1} - r_3 \cdot c_{4,2}$	...
$r_4 = \frac{c_{1,2}} {c_{1,3}}$	4	$c_{1,4} = c_{2,2} - r_4 \cdot c_{2,3}$	$c_{1,4} = c_{3,2} - r_4 \cdot c_{3,3}$	$c_{1,4} = c_{4,2} - r_4 \cdot c_{4,3}$	...
...	...	...	...	...	...

Формулировка критерия Рауса:

Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса $\ c_{1,1}, c_{1,2}, c_{1,3},...$ были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива.