Монотонная последовательность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Монотонная последовательность — последовательность $\{x_n\}, n\in\mathbb{N}$ , удовлетворяющая одному из следующих условий:

для любого номера $n=1,2,\ldots$ выполняется неравенство $x_{n+1}\geqslant x_n$ (неубывающая последовательность),
для любого номера $n=1,2,\ldots$ выполняется неравенство $x_{n+1}\leqslant x_n$ (невозрастающая последовательность).

Среди монотонных последовательностей выделяются строго монотонные последовательности, удовлетворяющие одному из следующих условий:

для любого номера $n=1,2,\ldots$ выполняется неравенство $x n + 1 > x n$ (возрастающая последовательность);
для любого номера $n=1,2,\ldots$ выполняется неравенство $x n + 1 < x n$ (убывающая последовательность).

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

[править] Некоторые обобщения

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров $n\in\mathbb N$ , а лишь для номеров из некоторого диапазона

$I=\{n\in\mathbb N\mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}$

(здесь допускается обращение правой границы $N +$ в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке $I$ , а сам диапазон $I$ называется промежутком монотонности последовательности.

[править] Примеры

Последовательность Фибоначчи (начальный отрезок которой имеет вид $1,\,\! 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$ ) является (строго) возрастающей последовательностью натуральных чисел.
Геометрическая прогрессия с основанием $\,\!1/2$ (начальный отрезок которой имеет вид $1,\,\!1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32$ ) является (строго) убывающей последовательностью рациональных чисел.
Последовательность рациональных чисел вида $x_n=\,\!(n-5)^2$ не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке $\{1,\,\!2, 3, 4\}$ и (строго) возрастает на промежутке $\{n\in\mathbb N\mid n\geqslant 5\}$ .