Рациональное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Рациона́льное число́ — число, представляемое обыкновенной дробью $\frac{m}{n}$ , где $m$ — целое число, $n$ — натуральное число. При этом число $m$ называется числителем, а число $n$ — знаменателем дроби $\frac{m}{n}$ .

Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb{Q}$ и может быть записано в виде

$\mathbb{Q} = \left\{ x\in \mathbb{R} \mid \exists m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} : x=\frac{m}{n} \right\}$ .

Множество $\mathbb{Q}$ является счётным.

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел $\mathbb{Z}$ ) относительно операций сложения и умножения дробей.

Каждое рациональное число является алгебраическим.

[править] Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар $\left\{ (m,\;n) \mid m \in \mathbb{Z},\;n \in \mathbb{N} \right\}$ по отношению эквивалентности $(m,\;n)\sim (m',\;n')$ , если $m\cdot n'=m'\cdot n$ . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

$\left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);$
$\left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).$

Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя или равен ему. Например, дроби 3/5, 7/8, 1/2 — правильные дроби, 8/3, 9/5 — неправильные дроби. Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби (например, 2 3/7) называется смешанным.