Проблема Плато

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эту статью или раздел следует викифицировать.
Пожалуйста, оформите её согласно общим правилам и указаниям.

Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.

Проблема Плато

Дано две точки $P 1 (x 1, y 1)$ и $P 2 (x 2, y 2)$ плоскости $x y$ , пусть $x_1<\;x_2$ . Пусть далее $y = y (x)$ — уравнение кривой. соединяющей точки $P 1$ и $P 2$ , то есть

y = y (x 1)

y = y (x 2)

Кривая вращается вокруг оси $x$ , заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую возможную площадь. Таким образом, приходим к проблеме выбора функции $y (x)$ , для которой интеграл

$S=2\pi\ \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+y^{'2}}\, dx$

— площадь поверхности вращения — минимален. Такие минимальные поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях на точки $P 1$ и $P 2$ , называются катеноидами. Обобщение выше сформулированной задачи состоит в следующем. Дана замкнутая (жорданова)кривая в пространстве. Найти поверхность, проходящую через эту кривую, так чтобы площадь, ограниченная кривой была наименьшей. Эта задача известна как проблема Плато.