Псевдообратные матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Псевдообратные матрицы A ⁺ - это обобощение обратных матриц в математике и, в частности, в линейной алгебре. В этой статье рассказывается о псевдообращении Мура-Пенроуза, которое было независимо описано Э.Х. Муром ^[1] и Роджером Пенроузом ^[2]. Концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 представил Фредгольм. Термин обобщенного обращения иногда используется как синоним для псевдообратных. Распространённое использование псевдообращения это лучшая апроксимация или "лучшее" (по наименьшим квадратам) решение системы линейных уравнений (смотрите далее в применении). Псевдообращение определено и нетождественно для всех матриц над действительными и комплексными числами. Псевдообратная матрица может быть вычеслена с помощью собственного представления матрицы.

Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Особые случаи 4 Происхождение 5 Вычисление 6 Применение 7 Ссылки

[править] Определение

A ⁺ это не тождественное презообразование матрицы которое удовлетворяет следующим критериям:

1. AA ⁺ A = A;
2. A ⁺ AA ⁺ = A ⁺       (A ⁺ является слабым обращением в мультипликативной полугруппе.)
3. (AA ⁺ ) ^* = AA ⁺       (Что значит, AA ⁺ - эрмитова матрица.)
4. (A ⁺ A) ^* = A ⁺ A       (A ⁺ A - тоже эрмитова матрица.)

Здесь M ^* - это сопряжающее транспонирование матрицы M. Для матрицы над действительными числами верно: M ^* = M^T.

Есть другой способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных: (смотрите регуляризация Тихонова). Этот предел есть, даже если (AA ^* ) ^{− 1} и (A ^* A) ^{− 1} не существуют.

[править] Свойства

• Псевдообращение обратимо, более того эта операция обратна себе:
  (A ⁺ ) ⁺ = A
• Псевдообращение нулевой матрицы равно транспонированию.
• Псевдообращение комутирует с транспонированием, сопряжением и сопряжающим транспонированием:
  (A^T) ⁺ = (A ⁺ )^T,
  и
  (A ^* ) ⁺ = (A ⁺ ) ^* .
• Псевдообратное скалярного произведения A равно соответствующему произведению матрицы A ⁺ :
  (αA) ⁺ = α ^{− 1}A ⁺ , для α ≠ 0 .
• Если псевдообратное для A ^* A уже известно, оно может быть использовано для вычисления A ⁺ :
  A ⁺ = (A ^* A) ⁺ A ^* .
• Аналогично, если (AA ^* ) ⁺ уже известно:
  A ⁺ = A ^* (AA ^* ) ⁺ .

[править] Особые случаи

Если столбцы матрицы A линейно независимы, тогда матрица A ^* A обратима. В таком случае, есть псевдообратная матрица задаётся формулой

A ⁺ = (A ^* A) ^{− 1}A ^* .

Это эквивалентно тому что в первой части определения через предел убирается слагаемое с δ. От сюда следует что A ⁺ - левое обратное для A:   A ⁺ A = I .

Если строчки матрицы A линейно независимы, тогда матрица AA ^* обратима. В таком случае, есть псевдообратная матрица задаётся формулой

A ⁺ = A ^* (AA ^* ) ^{− 1}.

Это эквивалентно тому что во второй части определения через предел убирается слагаемое с δ. От сюда следует что A ⁺ - правое обратное для A:   AA ⁺ = I .

Если и столбцы и строчки линейно независимы (что верно, для квадратных невырожденых матриц), псевдообращение равно обращению:

A ⁺ = A ^{− 1}.

Если A и B таковы что произведение AB определено и либо A либо B - унитарно, тогда (AB) ⁺ = B ⁺ A ⁺ .

Псевдообращение можно применять и к скалярам и векторам. Это подразумевает что их будут считать матрицами. Псевдообратный к скаляру x - ноль если x - ноль и обратный к x в противном случае:

Псевдообратный нулевого вектора - транспонированый нулевой вектор. Псевдообратный инового вектора - сопряжонный транпонированый вектор делённый на квадрат своей длинны:

Для доказательства, достаточно проверить что эти определения соответствуют определяющему критерию псевдообращения.

[править] Происхождение

Если (A ^* A) ^{− 1} существует,

Ax = b

A ^* Ax = A ^* b

(A ^* A) ^{− 1}(A ^* A)x = (A ^* A) ^{− 1}A ^* b

x = (A ^* A) ^{− 1}A ^* b

что порождает понятие псевдообращения

A ⁺ = (A ^* A) ^{− 1}A ^* .

[править] Вычисление

Пусть k - ранг матрицы матрицы A размера . Тогда A может быть представленна как A = BC, где B - матрица размера и C - матрица размера . Тогда

A ⁺ = C ^* (CC ^* ) ^{− 1}(B ^* B) ^{− 1}B ^* .

Если A имеет полнострочный ранг, тоесть k = m, тогда в качестве B может быть выбрана единичная матрица и формула сокращается до A ⁺ = A ^* (AA ^* ) ^{− 1}. Аналогично, если A имеет полностолбцовый ранг (тоесть, k = n), имеем A ⁺ = (A ^* A) ^{− 1}A ^* .

Простейший вычислительный путь получить псевдообратную матрицу - использовать собственное представление матрицы (СПМ).

Если A = UΣV ^* - собственное представление A, тогда A ⁺ = VΣ ⁺ U ^* . Для диагональной матрицы такой как Σ, псевдообратная вычисляется обращением каждого ненулевого элемента на диагонали.

Существуют оптимизированые подходы для вычисления псевдоинверсии блочных матриц.

Если псевдоинверсия известна для некой матрицы, и нужно найти псевдоинверсию для аналогичной матрицы, иногда она может быть вычислена спомощью специальных алгоритмов требующих меньших расчётов. В частности, если анологичная матрица отличается от начальной на один измененный, добавленный или удалённый столбец или строку - существуют накопительные алгоритмы которые могут использовать взаимосвязь между матрицами.

[править] Применение

Псевдоинверсия реализирует решение метода наименьших квадратов для системы линейных уравнений (СЛУ) ^[3].

Для данной системы Ax = b, ищем вектор x котрый минимизирует , где обозначает евклидову норму.

Общее решение неоднородной системы Ax = b представимо как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы Ax = 0.

Лемма: Если (AA ^* ) ^{− 1} существует, тогда решение x всегда представимо как сумма решения псевдооратного решения неоднородной системы и решения однородной системы:

x = A ^* (AA ^* ) ^{− 1}b + (1 − A ^* (AA ^* ) ^{− 1}A)y.

Доказательство:

Ax	=	AA * (AA * ) − 1	b	+	Ay − AA * (AA * ) − 1Ay
	=		b	+	Ay − Ay
	=		b	.

Здесь, вектор y случаен (с точностью до размерности). В двух других членах есть псевдообратная матрица A ^* (AA ^* ) ^{− 1}. Преписав её в форме A ⁺ , приведём выражение к форме:

x = A ⁺ b + (1 − A ⁺ A)y.

Первый член - псевдообратное решение. В терминах метода наименьших квадратов - это наилучшее приближение к настоящему решению. Это значит, что корректирующий член имеет минимальную евклидову норму. Следующий член даёт решение однородной системы Ax = 0, потому как (1 − A ⁺ A) - оператор проектирования на ядро оператора A, тогда как (A ⁺ A) = A ^* (AA ^* ) ^{− 1}A - оператор проектирования на образ оператора A.

[править] Ссылки

1. ↑  Э. Х. Мур(E. H. Moore): On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society 26, 394-395 (1920)
2. ↑  Роджер Пенроуз: A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406-413 (1955)
3. ↑  Роджер Пенроуз: On best approximate solution of linear matrix equations. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 52, 17-19 (1956)