Pseudo-inverse

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En algèbre linéaire, les pseudo-inverses généralisent la notion d'inverse d'une application linéaire ou d'une matrice. Il existe une notion générale de pseudo-inverse, pour laquelle il n'y a pas d'unicité. Dans le cadre euclidien ou hermitien on peut définir un pseudo-inverse privilégié, parfois appelé pseudo-inverse de Moore-Penrose, ou simplement pseudo-inverse.

Sommaire

1 Pseudo-inverse en algèbre linéaire
- 1.1 Définition
- 1.2 Construction des pseudo-inverses
2 Pseudo-inverse dans le cadre euclidien ou hermitien
- 2.1 Propriétés
3 Calcul de la pseudo-inverse

[modifier] Pseudo-inverse en algèbre linéaire

[modifier] Définition

Soit f une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F. Une application linéaire g de F dans E est appelée pseudo-inverse de f lorsqu'elle satisfait les deux conditions

$f\circ g \circ f =f \qquad g\circ f \circ g =g$

On montre dans ce cas les propriétés suivantes

E est la somme directe du noyau de f et de l'image de g
F est la somme directe du noyau de g et de l'image de f
f induit un isomorphisme de l'image de g sur l'image de f
g induit un isomorphisme de l'image de f sur l'image de g, qui est l'inverse de l'isomorphisme précédent.

Il s'agit bien d'une extension de la notion d'inverse dans la mesure où si f admet effectivement un inverse, celui-ci est aussi un, et même l'unique, pseudo-inverse de f.

[modifier] Construction des pseudo-inverses

La description géométrique qui vient d'être donnée pour les pseudo-inverses est une propriété caractéristique de ceux-ci. En effet, si on introduit des supplémentaires K du noyau de f (dans E) et I de l'image de f (dans F), il est possible de leur associer un unique pseudo-inverse g de f. Les restrictions de g aux espaces I et image de f sont parfaitement définies : application nulle sur I, et inverse de l'isomorphisme induit par f sur K, sur Im f. Les deux propriétés de pseudo-inverses sont alors facilement vérifiées en séparant selon les couples d'espaces supplémentaires.

Cette construction montre qu'en général il n'y a pas unicité du pseudo-inverse associé à une application linéaire.

[modifier] Pseudo-inverse dans le cadre euclidien ou hermitien

$A +$ est l'unique matrice qui vérifient les critères :

$A A + A = A;$
$A + A A + = A +$
$(A A +) * = A A +$ ( $A A +$ est une matrice Hermitienne)
$(A + A) * = A + A$ ( $A + A$ est une matrice Hermitienne)

Où $M *$ est la transposée de la conjuguée de la matrice M.

[modifier] Propriétés

La Pseudo-inversion est involutive : $(A +) + = A$ .
La pseudo-inverse d'une matrice nulle est sa transposée.
$(A t) + = (A +) t$
$\overline{A}^+ = \overline{A^+}$
$(A *) + = (A +) *$
$(\alpha A)^+ = \frac{1}{\alpha} A^+$ , pour $α$ ≠ 0 .

[modifier] Calcul de la pseudo-inverse

Notons k le rang de A, une matrice $m \times n$ . A peut donc être décomposée sous la forme $A = B C$ , où B est de taille $m \times k$ et C de taille $k \times n$ . Ainsi :

$A + = C * (C C *) - 1 (B * B) - 1 B *$

Si $k = m$ , alors B peut être la matrice identité. De même, si $k = n$ , C peut être l'identité. Ainsi, la formule se simplifie.

Informatiquement, la pseudo-inverse se calcule à partir de la décomposition en valeurs singulières : $A = U σ V *$

Ainsi, $A + = V σ + U * .$ . Pour déterminer $σ +$ qui est la pseudo-inverse d'une matrice diagonale, il suffit de prendre l'inverse de chaque élément non nul de la diagonale.