Свёртка тензора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности $(m, n)$ в тензор валентности $(m - 1, n - 1)$ . В координатах она записывается следующим образом:

${T_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n} \rightarrow {T_{j_1, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, i_n} = {T_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}$

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным индексам.

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров. Например, $A^i_j B^j_k$ есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B (то есть $\sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}$ ).

В случае евклидова пространства в ортогональной системе отнесения разница между ко- и контравариантными компонентами тензоров исчезает, и свёртку можно вести по любым двум индексам. Тем не менее, при работе в криволинейных или косоугольных координатах свёртка вновь определяется только в случае, если один из индексов суммирования верхний, а другой нижний. В метрических пространствах ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга, поэтому при использовании метрического тензора свёртку можно вести также по любой паре индексов.

Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.

Категория: Тензорный анализ

Свёртка тензора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках