Метрический тензор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике, метрический тензор — это симметричное тензорное поле $g = g i j$ ранга 2 на гладком многообразии.

Совокупность метрических тензоров $g$ подразделяется на два класса ― невырожденные метрики, когда $det(g i j)$ $\not= 0$ , и вырожденные, когда $det(g i j) = 0$ либо $det(g i j) = 0$ . Многообразие $M n$ , метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского). Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются

риманов метрический тензор (или риманова метрика) для которого квадратичная форма является положительно определенной,
псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является положительно определенной,
- В частности метрика Лоренца.

Метрический тензор с положительно-определенной квадратичной формой превращает многообразие в метрическое пространство. Если квадратичная форма отрицательно определена, то многообразие не является метрическим пространством (относительно так заданной метрики), потому что в любой точке многообразия существуют векторы мнимой и нулевой длины. Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрический тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре.

Собственно риманов метрический тензор может быть введен на любом паракомпактном гладком многообразии. Это означает, что любое паракомпактное гладкое многообразие можно в принципе превратить в метрическое пространство. Однако, такая метрика не является естественной с точки зрения физики. Например, хотя в пространстве Минковского с псевдоримановой метрикой можно ввести метрику обычного четырехмерного эвклидова пространства, она не инвариантна относительно преобразований Лоренца, а повороты четырехмерного пространства с участием оси t лишены какого-либо физического смысла.

Содержание

1 Измерение длин и углов при помощи метрики
2 Примеры
3 Изоморфизм между касательным и ко-касательным пространством
4 См. также

[править] Измерение длин и углов при помощи метрики

В выбранной системе координат $x^i \$ метрический тензор можно записать в виде матрицы, обычно обозначаемой символом $\mathbf{g}$ . Обозначение $g_{ij} \$ используется для компонентов метрического тензора, т.е. элементов матрицы. Заметьте, что дальше в формулах используется соглашение Эйнштейна.

На Римановом многообразии, длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция параметра t), от a до b, равна:

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \$

Угол $\theta \$ между двумя векторами, $U=u^i{\partial\over \partial x^i} \$ и $V=v^j{\partial\over \partial x^j} \$ (в искривленном пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), равен:

$\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}} \$

Метрика, которая индуцируется гладким вложением многообразия в эвклидово пространство может быть посчитана по формуле:

$\mathbf{g} = J^T J \$

где $J \$ означает якобиан вложения и $J^T \$ - его транспонирование.

Для псевдоримановой метрики, длина по формуле, которая приведена выше, не всегда определена, потому что выражение под корнем может быть отрицательным. В общем можно определить длину кривой только если знак выражения под корнем либо положительный, либо отрицательный по всей длине кривой. Для псевдоримановой метрики:

$L = \int_a^b \sqrt{ \left|g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}\right|}dt \ .$

Заметим, что хотя эти формулы используют координатное представление, результат не зависит от выбора системы координат; он зависит только от метрики и от кривой, вдоль которой происходит интегрирование.

[править] Примеры

[править] Метрика эвклидова пространства

Самый простой пример метрики - это метрика двумерной эвклидовой плоскости, которую изучают в школе. В координатах $x$ - $y$ она записывается

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \$

Длина кривой сводится к известной формуле анализа:

$L = \int_a^b \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2} \$

Эвклидова метрика в других распространенных системах координат:

Полярные координаты: $(r, \theta) \$

x = r cosθ

y = r sinθ

$J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}$

Так что

$g = J^T J = \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \$

где использованы формулы тригонометрии.

[править] Метрика на поверхности сферы

Сфера единичного радиуса R³ имеет естественную метрику, индуцированную эвклидовой метрикой вмещающего пространства. В стандартных сферических коордиранах $(θ,φ)$ метрика принимает вид:

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta\end{bmatrix}$

или, по-другому,

$g = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2.$

[править] Метрика Минковского (Лоренца) в теории относительности

Плоское пространство Минковского (специальная теория относительности) : $(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z) \$

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \$

Для кривой, все точки которой относятся к одному и тому же моменту времени, формула длины кривой сводится к обычной трехмерной форме. Для времениподобной кривой, формула длины дает собственное время вдоль кривой.

[править] Изоморфизм между касательным и ко-касательным пространством

В тензорном анализе метрический тензор устанавливает канонический изоморфизм между касательным пространством и ко-касательным пространством: пусть v ∈ T_pM - вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора g на M , мы получаем, что g(v, . ), т.е. отображение, которое переводит другой вектор w ∈ T_pM в число g(v,w), яаляется элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) T_p*M. Невырожденность метрического тензора превражает это отображение в биекцию, а тот факт, что g сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат. В терминах компонентов тензоров, это означает, что можно отождествить ковариантные и контравариантные объекты, т.е. "поднимать и опускать индексы."

[править] См. также

Категории: Дифференциальная геометрия и топология | Риманова геометрия

Метрический тензор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Измерение длин и углов при помощи метрики

[править] Примеры

[править] Метрика эвклидова пространства

[править] Метрика на поверхности сферы

[править] Метрика Минковского (Лоренца) в теории относительности

[править] Изоморфизм между касательным и ко-касательным пространством

[править] См. также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках