Спинорная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над $V$ (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида $q_1\cdot q_2\cdots q_{2n}$ , где $q_i \in V$ — единичные вектора. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством $\R^n$ обычно обозначается $\operatorname{Spin}(n)$ . Существует короткая точная последовательность

$1\to\mathbb{Z}_2\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)\to 1.$

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы $\operatorname{SO}(n)$ . Гомоморфизм $\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)$ может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение $R q$ относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы $q_1\cdot q_2\cdots q_{2n}$ можно сопоставить композицию отражений