Теория операторов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение T из векторного пространства X в векторное пространствo Y называется линейным оператором если T(αx + βy) = αT(x) + βT(y) для любых x и y в X и любых скаляров α и β. Часто пишут Tx вместо T(x). Линейный оператор из нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным если найдется положительное вещественное число M такое что для всех x в X. Наименьшая константа M удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора T и обозначается . Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается L(X,Y). В случае когда X = Y пишут L(X) вместо L(X,X). Если H — Гильбертово пространство, то обычно пишут B(H) вместо L(H). На L(X,Y) можно ввести структуту векторного пространства через (T + S)x = Tx + Sx и T(αx) = α(Tx), где , , а α — произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, L(X,Y) превращается в нормированное пространство. В частности, и для любых и произвольного скаляра α. Пространство L(X,Y) является Банаховым тогда и только тогда когда Y — Банахово.

Пусть X,Y и Z — нормированные пространства, и . Композиция S и T обозначается TS и называется «произведением» операторов S и T. Заметим что и . Если X — Банахово пространство, то L(X) с введенным выше умножением является Банаховой алгеброй.

В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:

1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
2. Классы операторов. В часности, компактные операторы, Фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
   • На Гильбертовых пространствах изучают самосопряженные, нормальные, унитарные, положительныe операторы и др.
   • На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом, и др.
   • На Банаховых решетках: положительные операторы, регулярные операторы, и др.
4. Совокупности операторов (то есть, подмножества L(X)): операторные алгебры, операторные полугруппы, и др.
5. Теория инвариантных подпространств.