Fibonacciho postupnosť

Z Wikipédie

Fibonacciho postupnosť je postupnosť čísiel, v ktorej každý ďalší člen F je súčtom dvoch predchádzajúcich.

Obsah

1 Konštrukcia postupnosti
2 Fibonacciho čísla
3 Názov postupnosti
4 Matematické vlastnosti
- 4.1 Zlatý rez
- 4.2 Súčet postupnosti
5 Externé odkazy

[úprava] Konštrukcia postupnosti

Postupnosť sa začína číslami 0 a 1, takže dostaneme:

$F 0 = 0$ , postupnosť je (0)
$F 1 = 1$ , postupnosť je (0, 1)
$F 2 = F 0 + F 1 = 0 + 1 = 1$ , postupnosť je (0, 1, 1)
$F 3 = F 1 + F 2 = 1 + 1 = 2$ , postupnosť je (0, 1, 1, 2)
$F 4 = F 2 + F 3 = 1 + 2 = 3$ , postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3)
$F 5 = F 3 + F 4 = 2 + 3 = 5$ , postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3, 5)
…

Po zovšeobecnení, pre $n > 1$ :

F n = F n - 2 + F n - 1

[úprava] Fibonacciho čísla

Jednotlivé členy postupnosti sa nazývajú Fibonacciho čísla.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,…

[úprava] Názov postupnosti

Fibonacciho postupnosť a Fibonacciho čísla nazval francúzsky matematik Édouard Lucas (1842-1891) podľa stredovekého talianskeho matematika Leonarda z Pisy, prezývaného Fibonacci.

Postupnosť sa niekedy nazýva aj zlatá cesta (z gréc. χρνσοδρομος, chrysodromos).

[úprava] Matematické vlastnosti

[úprava] Zlatý rez

Johannes Kepler upozornil na skutočnosť, že podiel dvoch po sebe nasledujúcích fibonacciho čísel $(\frac{F_{n+1}}{F_n})$ konverguje k číslu, ktoré bolo známe už od antiky, označuje sa symbolom φ (grécke písmeno fí) a nazýva sa tiež zlatý rez. Vyjadrené modernou matematikou:

$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi = 1,6180339887$

Vzťah čísla φ a Fibonacciho postupnosti ukazujú tiež vzťahy:

$F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt 5}$

$\varphi^n = F_{n-1} + \varphi F_n$

[úprava] Súčet postupnosti

$F_0 + F_1 + \dots +F_n = \sum_{i=0}^n F_i = F_{n+2} - 1$

$1F_1 + 2F_2 + \dots +nF_n = \sum_{i=1}^n iF_i = F_{n+3} + 2$

[úprava] Externé odkazy

Fibonacci Series (en)

Tento článok s matematickou témou je zatiaľ príliš krátky (tzv. "výhonok"). Môžeš pomôcť Wikipédii rozšíriť ho tak, že hore klikneš na záložku "úprava" (alebo alternatívne sem) a dopíšeš alebo zmeníš text.

Zdroj: "http://sk.wikipedia.org../../../f/i/b/Fibonacciho_postupnos%C5%A5.html"

Kategórie: Matematické výhonky | Postupnosti čísel