Hilbertova krivulja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Hilbertova krivulja prvega reda

Hilbertova krivulja prvega in drugega reda

Hilbertova krivulja prvega, drugega in tretjega reda

Hilbertova krivulja šestega reda

Hilbertova krivulja je fraktalna krivulja, ki zapolni prostor. Prvi jo je opisal matematik David Hilbert leta 1891.

Njena Hausdorffova razsežnost je 2. Evklidska dolžina $H n$ je $2^n - {1 \over 2^n}$ , t.j. narašča eksponentno z $n$ .

[uredi] Računalniški program

Spodnji Java applet nariše Hilbertovo krivuljo z rekurzivno metodo:

import java.awt.*;
import java.applet.*;

public class HilbertCurve extends Applet {
    private SimpleGraphics sg=null;
    private int dist0=512, dist=dist0;

    public void init() {
        sg = new SimpleGraphics(getGraphics());
        dist0 = 512;
        resize ( dist0, dist0 );
    }

    public void paint(Graphics g) {
        int level=4;
        dist=dist0;
        for (int i=level;i>0;i--) dist /= 2;
        sg.goToXY ( dist/2, dist/2 );
        HilbertA(level); // start recursion
    }

    private void HilbertA (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertB(level-1);    sg.lineRel(0,dist);
            HilbertA(level-1);    sg.lineRel(dist,0);
            HilbertA(level-1);    sg.lineRel(0,-dist);
            HilbertC(level-1);
        }
    }

    private void HilbertB (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertA(level-1);    sg.lineRel(dist,0);
            HilbertB(level-1);    sg.lineRel(0,dist);
            HilbertB(level-1);    sg.lineRel(-dist,0);
            HilbertD(level-1);
        }
    }

    private void HilbertC (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertD(level-1);    sg.lineRel(-dist,0);
            HilbertC(level-1);    sg.lineRel(0,-dist);
            HilbertC(level-1);    sg.lineRel(dist,0);
            HilbertA(level-1);
        }
    }

    private void HilbertD (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertC(level-1);    sg.lineRel(0,-dist);
            HilbertD(level-1);    sg.lineRel(-dist,0);
            HilbertD(level-1);    sg.lineRel(0,dist);
            HilbertB(level-1);
        }
    }
}

class SimpleGraphics {
    private Graphics g = null;
    private int x = 0, y = 0;    

    public SimpleGraphics(Graphics g) { this.g = g; }
    public void goToXY(int x, int y) { this.x = x;   this.y = y; }

    public void lineRel(int deltaX, int deltaY) {
        g.drawLine ( x, y, x+deltaX, y+deltaY );
        x += deltaX;    y += deltaY;
    }
}