Logaritemski integral

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Logaritemski integral ali integralski logaritem li(x) je v matematiki specialna neelementarna funkcija, določena za vsa pozitivna realna števila x≠ 1 z določenim integralom:

Tukaj ln označuje naravni logaritem. Funkcija 1/ln (t) ima singularno točko v t = 1, tako, da moramo integral za x > 1 predočiti s Cauchyjevo glavno vrednostjo:

Obnašanje funkcije pri x → ∞ je dano z:

(glej zapis z velikim O).

Logaritemski integral je v glavnem pomemben, ker se pojavlja pri ocenitvi gostote praštevil, še posebej v praštevilskem izreku:

π(x) ~ Li(x),

kjer π(x) označuje multiplikativno aritmetično funkcijo - število praštevil manjših ali enakih x, Li(x) pa je funkcija ordinatnega logaritemskega integrala, povezana z li(x) kot Li(x) = li(x) - li(2).

Ordinatni logaritemski integral nam da še malo boljšo oceno za funkcijo π kot li(x). Funkcija li(x) je povezana z eksponentnim integralom Ei(x) preko enačbe:

li(x) = Ei (ln (x))    za vse pozitivne realne x ≠ 1.

To vodi do razvojev v vrsto li(x). Na primer:

kjer je γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... Euler-Mascheronijeva konstanta. Funkcija li(x) ima eno pozitivno ničlo pri x ≈ 1.45136 92348 .... To število je znano kot Ramanujan-Soldnerjeva konstanta.