Cauchy-följd
Wikipedia
En talföljd {xi} i ett metriskt rum X är Cauchy-konvergent om det för varje ε > 0 finns ett heltal N>0 sådant att d(xn,xm) < ε för alla n och m som är större än N.
En talföljd som uppfyller detta kallas också för en Cauchy-följd.
Begreppet är svagare än den vanliga konvergensen, det vill säga varje konvergent talföljd är också Cauchy-konvergent, medan det finns Cauchy-konvergenta talföljder som inte är konvergenta.
Ett exempel är att ta rummet X som det öppna intervallet (0,1) och talföljden {1 - 1 / i}. Följden är Cauchy-konvergent, men ej konvergent vilket kan ses om vi studerar samma talföljd i ett större rum som till exempel reella linjen. I det rummet konvergerar följden (till 1), men eftersom det elementet inte finns i rummet X, kan följden inte konvergera där.
Ett rum i vilket alla Cauchy-följder är konvergenta kallas komplett eller fullständigt.
