Фундаментальна послідовність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Фундаментальна послідовність, або послідовність Коші — в математичному аналізі послідовність, члени якої наближаються як завгодно близько один до одного зі збільшенням порядкових номерів. Друга назва — на честь французького математика Оґюстена Луї Коші. Фундаментальні послідовності дійсних чисел завжди є збіжними, і тому послідовність можна перевірити на збіжність (так зв. збіжність за Коші) не винаходячи фактичного значення її границі. Поняття фундаментальної послідовності узагальнюється на довільні метричні простори. На відміну від дійсних чисел, воно може не бути еквівалентним до збіжності. Повний метричний простір нагадує дійсні числа у тому, що будь-яка фундаментальна послідовність є збіжна.

[ред.] Означення

Послідовність $x_1, x_2, x_3, \ldots$ елементів метричного простора $(M, d)$ називається фундаментальною послідовністю, якщо для кожного дійсного $ε > 0$ таке існує ціле $N$ (яке залежить від $ε$ ), що для всіх цілих $m, n > N$ виконується $d (x m, x n) < ε$ (так званий критерій Коші).

Трохи неформально висловлюючись, вимагаємо, що члени послідовності $x$ із достатньо великими індексами (більш над $N$ ) стають як завгодно близькими один до одного у $M$ (відстань меньша за $ε$ ). Це наштовхує на думку про існування границі фундаментальної послідовності у $M$ . Але насправді границі може й не бути! А саме,

Метричний простір $(M, d),$ в якому кожна фундаментальна послідовність має границю в $M,$ називають повним.

(Неформально: у $M$ "немає дірок".) Повні топологічні нормовані векторні простори відіграють важливу роль у функціональному аналізі, див. банахів простір, гільбертів простір. Будь-який метричний простір $(M, d)$ можна поповнити, тобто розширити його до простору

$(\overline{M},\overline{d}), \quad M\subseteq\overline{M},\quad \overline{d}(x,y)=d(x,y)\quad$ для $\quad x,y\in M,$

приєднавши границі усіх фундаментальних послідовностей з $M .$

[ред.] Приклади

1. Будь-яка збіжна послідовність у довільному метричному просторі — фундаментальна. Напр. $x_n=1/n\in\mathbb{Q},$ що має границю $0\in\mathbb{Q},$ — фундаментальна.

2. Множина $\mathbb{R}$ дійсних чисел із звичайною відстанню $d (x, y) = | x - y |$ є повним метричним простором. (Це одна із найвизначніших властивостей дійсних чисел, що може бути навіть використована для їх аксіоматичної характеризації.) Тому довільна фундаментальна послідовність дійсних чисел має границю в $\mathbb{R}$ . Повнота $\mathbb{R}$ дозволяє надати умови для збіжності послідовності (або ряду) дійсних чисел без обчислювання її (його) границі (див. критерій Вейєрштраса). Наприклад, визначимо послідовність за правилом

$x_1=1, x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n^2+3}$

(послідовності схожого типу з'являються у методі Ньютона розв'язання рівнянь). Тоді неважко довести, що це — фундаментальна послідовність дійсних чисел, тому вона має певну границю $x=\lim_{n\to\infty}x_n\in\mathbb{R}.$

3. Зауважимо, що всі члени щойно побудованої послідовності — раціональні числа, але її границя — ірраціональнe число. Справді, $x = x / 2 + 1 / (x 2 + 3),$ звідки одержуємо, що $x 3 + 3 x - 2 = 0,$ тому $x\notin\mathbb{Q}.$ Розглянена як послідовність елементів з $\mathbb{Q}$ із звичайною відстанню, вона так само є фундаментальною. Оскільки ми винайшли фундаментальну послідовність раціональних чисел, яка не має границі серед раціональних чисел, метричний простір $\mathbb{Q}$ не є повним. Одне із класичних означень дійсних чисел — вони є поповнення раціональних чисел, $\mathbb{R}=\overline{\mathbb{Q}}$ (див. вище).

4. Розглянемо метричний простір $\mathbb{Z}$ цілих чисел із звичайною відстанню $d (x, y) = | x - y | .$ Тоді неважко переконатися, що послідовність $(x n)$ — фундаментальна лише тоді, якщо вона "згодом постійна", тобто всі її члени із достатньо великими індексами дорівнюють певній цілій константі $C\in\mathbb{Z}.$ Справді, обираючи в означенні фундаментальної послідовності $ε = 1,$ знаходимо, що існує таке ціле $N$ , що для всіх індексів $m, n > N$ виконується $| x n - x m | < 1.$ Оскільки всі $x n$ — цілі числа, а відстань між будь-якими відмінними цілими числами принаймні $1,$ маємо $x n = x m ( = C)$ для всіх $m, n > N .$

5. Розглянемо множину $\mathbb{N}$ натуральних чисел як метричний простір із дещо незвичайною відстанню. По-перше, нехай $o r d 10 (m, n)$ дорівнює максимальній кількості останніх цифр (тобто, рахуючи з кінця) у десятковому записі $m$ та $n,$ що збігаються між собою. Наприклад, $o r d 10 (11,12) = 0, o r d 10 (111,211) = 2, o r d 10 (1,123111) = 1.$ Інакше кажучи, $o r d 10 (m, n)$ — це число нулів наприкінці десяткового запису $m - n .$ Визначимо відстань між натуральними числами за формулою $d(m,n)=10^{-ord_{10}(m,n)}.$ Можна переконатися, що $(\mathbb{N},d)$ становить собою метричний простір (пор. p-адічні числа). Утворимо послідовність $(x n)$ таким чином, що $x n + 1$ одержано з $x n$ додаванням попереду його десяткового запису будь-якої цифри, що не дорівнює нулю (напр., можна визначити $x_n=11\ldots1,$ що складається з $n$ одиниць). Тоді $(x n)$ — це фундаментальна послідовність, що не має границі у $\mathbb{N}.$ Зокрема, цей метричний простір не є повним.

[ред.] Властивості

1. Кожна збіжна послідовність є фундаментальною, і кожна фундаментальна послідовність є обмеженою.

2. Якщо $(x n)$ і $(y n)$ - дві фундаментальні послідовності в просторі раціональних, дійсних чи комплексних чисел, тоді сума $(x n + y n)$ і добуток $(x n y n)$ також є фундаментальними послідовностями.

3. Якщо $f \colon M\to N$ є рівномірно неперервним відображенням метричних просторів і $(x n)$ є фундаментальною послідовністю в $M,$ тоді $(f (x n))$ є фундаментальною послідовністю в $N .$