Itōs lemma

Wikipedia

Itos lemma (Itos formel) är ett berömt resultat inom den gren av matematiken som kallas stokastisk analys (stokastisk kalkyl).

Den utgör en av de tre fundamentala resultaten på vilka teorin för stokastisk analys är konstruerad:

Den kvadratiska variationsprocessen för Wienerprocessen.
Konstruktionerna av begreppet stokastisk integral.
Itos lemma.

[redigera] Kvadratisk variation hos Wienerprocessen

Det faktum att Wienerprocessen har en kvadratisk variation, medför att begreppet stokastisk integral inte kan definieras på samma sätt som exempelvis Lebesgue-Stieltjesintegralen.

[redigera] Konstruktion av stokastisk integral

Stokastiska integraler konstrueras därför som objekt som existerar i $L 2$ -rum. (Se funktionalanalys.) Detta får som konsekvens att man inte kan tolka en stokastisk integral som arean under grafen för en stokastisk process.

Det finns lika många olika konstruktioner av begreppet stokastisk integral som det finns reella tal. Den mest använda av dessa konstruktioner är Itos konstruktion. En annan konstruktion, som används främst då man studerar stokastiska differentialekvationer på differentiabla mångfalder, är den som har fått namn efter Stratonovich.

[redigera] Itos lemma

Antag att x(t) är en Itoprocess, det vill säga det är en stokastisk process som är en lösning till den stokastiska differentialekvationen

$dx(t) = a(x,t)\,dt + b(x,t)\,dW_t$

där W är en Wienerprocess, och f(x, t) är en funktion med kontinuerliga andraderivator.

Då är $f (x (t), t)$ också en Itoprocess och den löser den stokastiska differentialekvationen

$df(x(t),t) = \left(a(x,t)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}b(x,t)^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + b(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW_t.$

Itos lemma innehåller Analysens fundamentalsats som ett specialfall: Om man väljer funktionerna $b = 0$ , $a = 1$ och funktionen $f$ till att endast bero på argumentet $t$ , så reduceras Itos lemma till

$df(t) = \frac{d f}{d t}dt, \quad dvs \quad f(t) = f(0) + \int_0^t f^\prime(s)ds.$