Perfekt tal

Wikipedia

Ett perfekt tal är ett heltal som är större än 1 och som är summan av sina äkta delare (inklusive 1).

Innehåll

1 Exempel
2 Jämna perfekta tal
3 Udda perfekta tal
4 Olösta problem
5 Se även
6 Externa länkar

[redigera] Exempel

6 är ett perfekt tal eftersom det är delbart med 1, 2 och 3 och summan av dessa är just 6.

De tio första perfekta talen är (sekvens A000396 i OEIS):

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496
8 128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216

Som framgår ovan växer följden av perfekta tal mycket snabbt. De förekommer alltså väldigt glest bland mängden av tal. År 2001 var endast 39 perfekta tal kända, där det största har över 8 miljoner siffror. Fem år senare, 2006, har antalet kända perfekta tal vuxit till 44. Det är dock inte känt om det finns några perfekta tal som är större än det 39:e, men mindre än det största perfekta tal man hittat, så de senare talens plats är inte definitiv.

[redigera] Jämna perfekta tal

Alla perfekta tal man känner till är jämna. Euklides bevisade att om 2ⁿ - 1 är ett primtal, så är 2^n-1(2ⁿ - 1) ett perfekt tal. Två tusen år senare bevisade Euler att dessa är de enda jämna perfekta tal som existerar.

Primtal på formen 2ⁿ - 1 kallas Mersenneprimtal, så varje Mersenneprimtal man upptäcker ger oss omedelbart ett nytt perfekt tal.

[redigera] Udda perfekta tal

En hittills obesvarad fråga är om det existerar några udda perfekta tal. Man vet att om det finns sådana, så har de bland annat följande egenskaper:

är större än 10⁵⁰⁰
har minst 9 olika primfaktorer
kan skrivas på formen 12n + 1 eller 36n + 9

[redigera] Olösta problem

Det finns flera olösta gåtor angående de perfekta talen:

Man vet inte om det finns oändligt många perfekta tal.
Hittills har alla perfekta tal man hittat slutat på 6 eller 28 (se uppställningen ovan). Men ingen har lyckats visa om alla perfekta tal gör det.
Hittills har man inte lyckats hitta något udda perfekt tal. Men det är inte bevisat att det inte finns några sådana.