ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในแคลคูลัสเชิงประพจน์, ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์ หรือ ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ใช้เพื่อเชื่อมประโยคให้เป็นประโยคที่ซับซ้อนขึ้น พิจารณาตัวอย่างของประโยคที่ว่า "ฝนตก" และ "ฉันอยู่ในบ้าน" เราสามารถเชื่อมประโยคทั้งคู่ได้เป็น "ฝนตก และ ฉันอยู่ในบ้าน", หรือ "ฝน ไม่ ตก", หรือ "ถ้า ฝนตก, แล้ว ฉันอยู่ในบ้าน"
ประโยคใหม่ที่ได้จากการเชื่อมประโยคเรียกว่า ประโยคเชิงซ้อน หรือ ประพจน์เชิงซ้อน
ตัวดำเนินการพื้นฐานมี: "นิเสธ" (¬ หรือ ~), "และ" (∧ หรือ &), "หรือ" (∨), "เงื่อนไข" (→), และ "เงื่อนไขสองทาง" (↔). "นิเสธ" เป็นตัวดำเนินการเอกภาพ ที่ใช้กับเทอมเดี่ยว ที่เหลือคือตัวดำเนินการทวิภาค ที่เชื่อมเทอมสองเทอมเข้าด้วยกัน เช่น P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, และ P ↔ Q เรามักเรียกตัวดำเนินการเงื่อนไขว่า "ถ้า-แล้ว" ส่วนตัวดำเนินการเงื่อนไขสองทางเราเรียกว่า "ก็ต่อเมื่อ"
สังเกตความคล้ายคลึงกันของเครื่องหมายสำหรับ "และ" (
) และ "อินเตอร์เซกชัน" (∩) และในทำนองเดียวกัน เครื่องหมายสำหรับ "หรือ" (∨) และ "ยูเนียน (∪) นี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ทั้งนี้เนื่องจากนิยามของอินเตอร์เซกชันใช้ "และ" ส่วนนิยามของยูเนียนใช้ "หรือ"
ตารางค่าความจริง ของตัวเชื่อมเหล่านี้:
| P | Q | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P → Q | P ↔ Q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
| F | F | T | T | F | F | T | T |
เพื่อจะลดจำนวนวงเล็บ เราจะเพิ่มลำดับความสำคัญของตัวดำเนินการต่างๆ ดังนี้: ¬ มีความสำคัญมากกว่า ∧, ∧ มากกว่า ∨, และ ∨ มากกว่า → ตัวอย่างเช่น P ∨ Q ∧ ¬ R → S คือการเขียนอย่างย่อของ (P ∨ (Q ∧ (¬ R))) → S
อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นที่เราจะต้องใช้ตัวดำเนินการทุกตัวในนี้ สำหรับการใช้งานในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ที่สมบูรณ์ ประโยคเชิงซ้อนนั้นหลายครั้งก็สมมูลกัน ตัวอย่างเช่น ¬ P ∨ Q นั้นสมมูลทางตรรกศาสตร์กับ P → Q; ดังนั้น เราไม่จำเป็นต้องมีตัวดำเนินงานเงื่อนไข "→" ถ้าเรามี "¬" (นิเสธ) และ "∨" (หรือ)
เพื่อความกระทัดรัด เฉพาะ 5 ตัวดำเนินการที่ใช้บ่อยเท่านั้น ที่เราได้แสดงในหัวข้อนี้ ยังมีตัวเชื่อมอื่นๆ อีก เช่น แนน (nand, not-and), เอกซ์-ออร์ และ นอร์ (nor, not-or).
