Абеля диференціал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Абеля диференціал - голоморфний, або міроморфний диференціал на компактній, або замкненій поверхні Рімана S.

Нехай g - рід поверхні S; a₁b₁a₂b₂..a_gb_g - цикли канонічної бази S. В залежності від характеру особливостей розрізняють а.д. трьох типів: I, II, III причому мають місце строгі включення: $I\,\subset\,II\,\subset\,III$ . А.Д. І-го роду - це голоморфні всюди на S диференціали 1-го порядку, котрі в околі U кожної точки $P_0\,\in\,\!S$ мають вигляд $\omega\,=\,pdz\,=\,p(z)dz$ , де $z = x + i y$ - локальна уніформізуюча змінна в U, $dz\,=\,dx+idy$ , а p(z) - голоморфна, або регулярна аналітична функція на U. Додавання і множення а.д. визначаються звичайними правилами(див. диференціал).

А.д. І роду формують векторний простір $\mathfrak{U}$ розмірності g. Післля введення скалярного добутку

$(\omega,\pi)\,=\,\iint_{D}\omega*\overline{\pi}$ ,

де $\omega*\overline{\pi}$ - зовнішній добуток $ω$ на зірково спряжений диференціал $\overline{\pi}$ , $\mathfrak{U}$ перетворюється в Гільбертовий простір.

Нехай $A_1,\,B_1,\,A_2,\,B_2,\,\ldots A_g,\,B_g$ - А- і В- періоди другого роду а.д. І роду $ω$ , тобто інтеграли

$A_j\,=\,\int_{a_j} \omega, B_j\,=\,\int_{b_j} \omega, j=1,\,2,\,\ldots,\,g$ . (1)

Тоді справедливе наступне співвідношення:

${\|\omega\|}^2\,=\,i\sum_{j=1}^g\left (\,A_j{\overline{B}}_j\,-\,B_j{\overline{A}}_j \right )\,\ge\,0$

Нехай $A_1^{\prime},\,B_1^{\prime},\,A_2^{\prime},\,B_2^{\prime},\,\ldots A_g^{\prime},\,B_g^{\prime}$ - періоди другого роду а.д. І-го роду $π$ , то

$i(\omega,\,\overline{\pi})\,=\,\sum_{j=1}^g \left (\,A_j B_j^{\prime}\,-\,B_j A_j^{\prime} \right )\,=\,0$ . (2)

Співвідношення (1) і (2) називають білінійними відношеннями Рімана для а.д. І роду. Канонічна база а.д. І роду, тобто канонічна база $\varphi_1,\,\varphi_2,\,\ldots,\,\varphi_g$ простору $\mathfrak{U}$ , вибирається таким чином, щоб

$A_{ij}\,=\,\int_{a_i}\varphi_i\,=\,\delta_{ij}$ ,

де $δ i j$ - символ Кронеккера. При цьому матриця $(B_{ij}), i,j=\overline{1,g}$ , B-періодів

$B_{ij}\,=\,\int_{b_j}\varphi_{ij}$

симетрична, а матриця уявних частин $(Im \; B_{ij})$ додатньо визначена. А.д. І роду, у якого всі А- або В- періоди рівну нулю тотожньо рівний нулю. Якщо всі періоди а.д. І роду $ω$ дійсні, то $ω = 0$ .

А.д. ІІ і ІІІ роду відносяться до міроморфних диференціалів, тобто до таких аналітичних диференціалів, котрі мають на S не більш ніж скінченну множину особливостей типу полюсів з локальним представленням

$\left ( \frac{a_{-n}}{z^n}\,+\,\frac{a_{-n+1}}{z^{n-1}}\,+\,\ldots\,+\,\frac{a_{-1}}{z}\,+\,f(\,z\,) \right )dz$ , (3)

де f(z) - регулярна функція, n - порядок полюсу(якщо $a_{-n}\,\ne\,0$ ), a_-n - лишок в даному полюсі. При n=1 полюс називається простим. А.д. ІІ роду - це міроморфні диференціали, в яких всі лишки рівні нулю. Тобто їх локальне представлення наступного вигляду:

$\left ( \frac{a_{-n}}{z^n}\,+\,\frac{a_{-n+1}}{z^{n-1}}\,+\,\ldots\,+\,\frac{a_{-2}}{z^2}\,+\,f(\,z\,) \right )dz$ .

А.д. ІІІ роду - це А.д. довільного вигляду.

Якщо $ω$ - довільний а.д. з А-періодами $A_1,\,A_2,\,\ldots,\,A_g$ , то а.д. $\omega^{\prime}\,=\,\omega-A_1 \varphi_1\,-\,A_2 \varphi_2\,-\,\ldots\,-\,A_g \varphi_g$ має нульові А-періоди і називається нормованим. Якщо P₁ i P₂ - довільні точки S, то можна побудувати а.д. $ω 1,2$ з особливостями $\left ( \frac{1}{z} \right ) dz$ в P₁ і $\left ( -\frac{1}{z} \right ) dz$ в P₂, який називається нормальним а.д. ІІІ роду. Нехай $ω$ - довільний а.д. з лишками $c_1,\,c_2,\,\ldots,\,c_n$ в точках $P_1,\,P_2,\,\ldots,\,P_n$ відповідно, причому $c_1+c_2+\ldots+c_n=0$ . Якщо $P_0\ne P_j\;j=\overline{1,n}$ така довільна точка на S то $ω$ можна представити у вигляді лінійної комбінації нормованого а.д. ІІ роду $ω 2$ , скінченного числа нормальних а.д. $ω j,0$ і базисних а.д. І роду $ω k$ :

$\omega=\omega_2+\sum_{j=1}^{n}c_j \omega_{j,0}+\sum_{k=1}^{g}A_k \varphi_k$ .

Нехай $ω 3$ — А. д. ІІІ роду, що має лише прості полюси, з лишками $c j$ в точках $P_{j},\,j=1,2,...,n$ , а $ω 1$ — довільний А. д. І роду;

$A_{k}=\int_{a_{k}} \omega_{1},\,\,B_{k}=\int_{b_{k}} \omega_{1},$

$A_{k}^{\prime}=\int_{a_{k}} \omega_{3},\,\,B_{k}^{\prime}=\int_{b_{k}} \omega_{3},\,k=1,2,...,g,$

причому цикли $a_{k},\,b_{k}$ не проходять через полюси $ω 3$ . Нехай точка $P_0\,\in\,\!S$ не лежить на циклах $a k$ і $b k$ , а $L j$ - шлях від $P 0$ до $P j$ . Тоді маємо білінійні співвідношення для А. д. І і ІІІ роду:

$\sum_{k=1}^{g} \left ( A_{k} B_{k}^{\prime} - A_{k}^{\prime} B_{k} \right ) = 2 \pi i \sum_{j=1}^{n} c_{j} \int_{L_{j}} \omega_{1}$ .

Аналогічні співвідношення існують і між А. д. І і ІІ роду.

Довільний А. д. ІІІ роду, окрім А- і В- періодів (циклічних), має ще полярні періоди виду $2π i c j$ вздовж циклів, гомологічних нулю, але таких, що охоплюють полюси $P j$ . Таким чином для довільного циклу $γ$ маємо:

$\int_{\gamma} \omega_{3} = \sum_{k=1}^{g} \left ( l_{k} A_{k}+l_{g+k} B_{k} \right ) + 2 \pi i \sum_{j=1}^{n} m_{j} c_{j},$