Математика

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Матема́тика - це наука про кількісні співвідношення, структури, форми та перетворення. Початково вона використовувалася для підрахунку, вимірювання, а також для вивчення форм і руху фізичних об'єктів шляхом дедуктивних розмірковувань та абстракцій. Математики формулюють нові висновки, і намагаються встановити їх справедливість, виходячи з вдало вибраних аксіом і визначень.

Математика пропонує формальну мову спілкування, що використовується для ефективної передачі математичних знань. Тому математика - найважливіший і необхідний засіб для вивчення природних, соціальних і гуманітарних наук.

[ред.] Етимологія і вживання в різних мовах

Слово «математика» походить від грецького слова μάθημα, що означає «наука, знання, вивчення», і грецького μαθηματικός, що означає «любов до пізнання», в підсумку приводить до більш вузького і технічного (прикладного) значення «математичне дослідження», яке використовувалося і в Античні (класичні) часи. Зокрема, грецьке μαθηματική τέχνη, латиною ars mathematica, означає математичне мистецтво.

Наявна форма множини англ. mathematics, як і форма множини франц. les mathématiques, походять з множини середнього роду лат. mathematica (Ціцерон), яка в свою чергу виникла на основі множини грецькою τα μαθηματικά, яку використовув Арістотель, що приблизно означає «всі речі математичні».

Незважаючи на форму і етимологію, англійське слово mathematics, подібно до назв головних мистецтв і наук, використовується в однині для іменників незчисленного типу сучасної англійської мови ( український аналог ножиці ). Англійськомовні розмовні скорочені форми зберігають особливість однини/множини: слово math використовується в Американській англійській ( en:North American English ), тоді як maths в Британській англійській ( en:British English ), яка використовується в Ірландії, Австралії та інших країнах Британської Співдружності ( en:Commonwealth of Nations ).

[ред.] Цілі і методи

Математика вивчає уявні, ідеальні об'єкти і співвідношення між ними, використовуючи формальну мову. Однак всі досліджувані математикою об'єкти мають прообрази в реальному світі, більш-менш схожі на свої математичні моделі. Модель об'єкта враховує не всі його риси, а тільки найбільш необхідні для мети дослідження. Наприклад, вивчаючи фізичні властивості апельсина, ми можемо абстрагуватися від його кольору та смаку і подати його (нехай не ідеально точно) у вигляді кулі. Якщо ж нам потрібно зрозуміти, скільки апельсинів ми отримаємо, якщо складемо докупи два і три, - то можна абстрагуватися і від форми, залишивши в моделі тільки одну характеристику - кількість. Абстракція та установлення зв'язків між об'єктами в найбільш загальному вигляді - це є ціль математики.

Вивчення об'єктів у математиці відбувається за допомогою аксіоматичного методу: спочатку для досліджуваних об'єктів формулюється список аксіом і вводяться необхідні визначення, а потім з аксіом за допомогою правил виведення одержують цінні теореми.

[ред.] Математика і освіта

У школі вивчається елементарна математика — арифметика, функції, алгебра; у ВУЗі — вища математика: диференціальне, інтегральне числення, топологія, теорія операторів та все інше, що не входить у елементарну математику. Вища математика, як правило, базується на вищому рівні абстракції, ніж елементарна математика, та менш просто виводиться із властивостей навколишнього світу.

[ред.] Основні теми математики

[ред.] Числа

$1, 2, \ldots$	$0, 1, -1, \ldots$	$1, -1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.12,\ldots$
Натуральні числа	Цілі числа	Раціональні числа
$1, -1,\frac{1}{2},0.12,\pi,\sqrt{2},\ldots$	$-1,\frac{1}{2},0.12,\pi,3i+2, e^{i\pi/3},\ldots$	$1,i,j,k, \pi j - \frac{1}{2}k, \dots$
Дійсні числа	Комплексні числа	Кватерніони

Числа – Натуральні числа – Цілі числа – Раціональні числа – Дійсні числа – Комплексні числа – Гіперкомплексні числа – Кватерніони – Октоніони – Седеніони – Гіпердійсні числа – Сюрреальні числа – p-адичні числа – Математичні сталі – Назви чисел – Безмежність

[ред.] Перетворення

$36 \div 9 = 4$			$\int 1_S\,d\mu=\mu(S)$
Арифметика	Диференціальне і інтегральне числення	Векторний аналіз	Математичний аналіз
$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
Диференціальні рівняння	Динамічні системи	Теорія хаосу

Арифметика – Векторний аналіз – Математичний аналіз – Теорія міри – Диференціальні рівняння – Динамічні системи – Теорія хаосу – Список функцій

[ред.] Структури

Абстрактна алгебра – Теорія груп – Алгебраїчні структури – Алгебраїчна геометрія – Теорія чисел – Топологія – Лінійна алгебра – Універсальна алгебра – Теорія категорій – Теорія послідовностей

[ред.] Просторові відношення

Більш візуалізовані підходи в математиці.


Геометрія	Тригонометрія	Диференціальна геометрія	Топологія	Фрактальна геометрія

Геометрія – Тригонометрія – Алгебраїчна геометрія – Топологія – Диференціальна геометрія – Диференціальна топологія – Алгебраїчна топологія – Лінійна алгебра – Фрактальна геометрія

[ред.] Дискретна математика

Дискретна математика містить засоби, які застосовуються до об'єктів, що можуть приймати лише специфічні, окремі значення (не неперервні).

	$\forall x (P(x) \Rightarrow P(x'))$
Теорія множин	Математична логіка	Теорія обчисленності	Криптографія	Теорія графів